Um livro bastante interessante surgiu nas bancas nos últimos tempos: "e": A história de um número". Ele é relativamente curto, fácil de digerir para quem entende um mínimo de matemática, e bastante divertido. Altamente recomendado.
A história do número e = 2.718281828... confunde-se com a história do cálculo integral e diferencial. Foi a tentativa de calcular a área de uma curva aparentemente simples (y = 1÷x) que inspirou Newton e Leibnitz a estudarem processos infinitos, e assim toparem com o cálculo e com o número "e".
Muitos outros já haviam aproximado o valor de "e" antes (até os babilônios, em cálculos financeiros). Eu mesmo topei com o número "e" numa simulação financeira, mas nem eu nem os babilônios compreenderam a importância disso à época, pois não sabiam cálculo ;)
O número "e" tem inúmeras facetas. A que pretendo mostrar envolve algo relativamente simples - a função potência, ensinada no primário da seguinte forma:
104 = 10 × 10 × 10 × 10
Potência é, a princípio, uma forma compacta de expressar uma multiplicação repetida. Quando o expoente (no caso acima, 4) é inteiro positivo, esse modelo é suficiente. Também aprendemos no ensino fundamental algumas propriedades envolvendo potências de mesma base, todas facilmente provadas por indução:
104 × 102 = 10(4+2) = 106
104 ÷ 102 = 10(4-2) = 102
(104)2 = 10(4×2) = 108
Agora, seria admissível um expoente zero ou negativo? A definição primeira de potência não comporta essa idéia. Mas as propriedades das potências de mesma base justificam tais expoentes:
103 ÷ 103 = 10(3-3) = 100 = 1
(pois 1000 ÷ 1000 = 1, então 100 deve ser 1)
102 ÷ 104 = 10(-2) = 1 ÷ 102 = 0,01
(pois 10 ÷ 1.000 = 0,01, então 10(-2) = 1 ÷ 102)
E um expoente não-inteiro? Vamos começar com o caso de um expoente na forma 1÷x. Esse tipo de fração tem um nome bonito, mas não lembro agora :) Que valor poderia sair de
8(1÷3)?
Usando um pouco a imaginação, poderíamos dizer que o resultado deveria ser "um terço" de oito, mas um "terço multiplicativo", de modo que
8(1÷3) × 8(1÷3) × 8(1÷3) = 8
Ora, 2 × 2 × 2 = 8, então o "terço multiplicativo" é nada mais que a raiz cúbica de 8. Uma potência de 1÷2 seria a raiz quadrada, 1÷4 a raiz quarta, e assim por diante.
Essa nossa suposição parece ser verdadeira porque ela funciona em todas as situações estudadas antes (soma de potências de mesma base, potência negativa, etc.). Exemplo:
[10(1÷2)]4 = 10(4/2) = 102 = 100
Se calcularmos a raiz quadrada de 10 usando aquele algoritmo manual, e elevarmos o resultado à quarta potência, chegamos a 100. Então, representar raízes como expoentes (1÷x) parece estar correto. Fizemos uma presunção no estilo "vai que dá" e aparentemente funcionou.
Se o expoente for um número racional na forma (x÷y), basta considerar que
a(x÷y) = "a" elevado a potencia "x", e em seguida extrai-se a "y"-ésima raiz
Há mais um teste que podemos fazer, para ver se essas nossas "invenções" funcionam mesmo, que é o teste da "suavidade". Uma função suave é aquela cuja curva não tem cantos vivos ou buracos.
22 = 4
23 = 8
24 = 16
A função é monotonamente crescente, ou seja, se o expoente aumenta, também aumenta o resultado. Essa regra tem de se manter para os expoentes negativos e fracionários, do contrário nossas "extensões" ao conceito de potência estão quebrados. Felizmente, a função potência resiste a esse teste (certamente alguém provou isso há 1000 anos atrás).
Agora vamos testar a suavidade, ou seja, se a curva da função num gráfico está isenta de cantos vivos ou buracos. Uma função pode ser considerada suave mesmo que possua um certo número de buracos, desde que esse número seja finito. Um exemplo é a função y=1÷x, que possui um buraco em x=0.
Novamente, a função potência pode ser provada suave. Mas talvez haja buracos no gráfico. Por exemplo, considere as seguintes potências:
2√2
10π
Tanto √2 quanto π são números irracionais, e isso é conhecido desde há muito tempo. A propósito, para quem não lembra, número irracional é aquele que não corresponde exatamente a nenhuma fração.
Se não há como expressar π como fração, 10π não existe, pois não há como elevar 10 ao numerador, e depois tirar a raiz n-ésima apontada pelo denominador. Ou seja, a função potência tem um "buraco", e funções com buracos são indesejáveis. Pior: existem infinitos números irracionais, portanto os buracos da função potência também seriam infinitos, o que lhe tira a suavidade.
Esse problema me ocorreu pela primeira vez na 7a série. Perguntei para o professor, e ele sugeriu usar uma aproximação (formalmente conhecida como limite), que consiste em aproximar o resultado "arredondando" o número irracional para um número racional. Exemplo:
10π "não existe", mas 10(31415926/10000000) existe, e é uma aproximação boa.
Isso resolve o problema do ponto de vista prático: podemos aproximar do valor verdadeiro de 10π tanto quanto quisermos, basta usar expoentes maiores. Mas não prova que uma potência com expoente irracional realmente exista.
Para fecharmos esses buracos, precisaremos redefinir a função potência de outra forma, radicalmente diferente, conforme descrito a seguir.
Considere a curva y = 1÷x, aparentemente simples. Vários matemáticos tentaram, sem conseguir, calcular a área sob essa curva. Esse problema só foi resolvido com o advento do cálculo.
A função 1÷x é contínua e suave, ou seja, não tem os famigerados buracos, mesmo quando x é irracional. Existe exatamente uma descontinuidade em x = 0, mas como é apenas uma, podemos lidar com isso.
O que já se sabia antes do cálculo, é que a área sob essa curva cresce logaritmicamente com o avanço de x. Devido a isso, a função-área dessa curva foi batizada de "ln". Então:
y = 1÷x
ln(x) = área sob a curva 1÷x, a partir de x = 1, para frente ou para trás.
A área começa a ser contada a partir de x = 1, pois x = 0 é uma descontinuidade. Para calcular ln(2), contamos a área de x = 1 até x = 2. Para calcular ln(0.5), contamos a área de x = 1 até x = 0.5 andando para trás e tomando o resultado como negativo.
Na verdade, batizar a função como ln(x) foi um ato de fé. A noção de uma função logaritmica não era firme antes do cálculo. Nem sequer era certo que ln(x) realmente comportava-se de acordo com as leis dos logaritmos. Para piorar, a base do hipotético logaritmo ln(x) não era perfeitamente conhecida; mas parecia ser um número em torno de 2.718...
Ninguém sabia como calcular o valor exato de ln(x). A forma "burra" seria traçar a curva num papel quadriculado e contar os quadradinhos, mas isso não prova nada, apenas *sugere* a grandeza do resultado.
Hoje, sabemos que a área sob uma curva é a integral definida. Para achar ln(x), basta calcular a integral de 1÷x. Mas tal conceito era desconhecido antes de Newton e Leibniz.
Se a função 1÷x é contínua em intervalos controlados, a área sob essa curva também é ser uma função contínua, portanto ln(x) é contínua para x > 0. De acordo com a definição de logaritmos:
log 1000 = 3, pois 103 = 1000, e log(x) é o logaritmo na base 10.
Se ln(x) é uma função logarítmica, tal qual log(x), tem de haver uma base para ln(x). Suspeitava-se que era um número em torno de 2.71828, mas apenas com o advento do cálculo foi possível provar isso.
Outra coisa que o cálculo provou, é que todas as propriedades dos logaritmos também se aplicam à função ln(x). Foi um caso de "duck typing" matemático - se a função grasna como um pato e anda como um pato, então é um pato.
Uma vez provado que ln(x) existe, que é uma função logarítmica para todos os efeitos práticos, que a base de ln(x) existe e é o número "e", a função exponencial é definida como o inverso da função logarítmica:
y = ln(x)
x = ey
A função y = ln(x) é contínua (sem "buracos") para x > 0, e o seu resultado (y) pode ser calculado para qualquer número real. Portanto, o contrário também é verdadeiro: ey é contínua, e "y" pode ser qualquer número real, inclusive zero, negativo, fracionário ou irracional.
Assim, conseguimos abrir uma exceção para as potências com expoentes irracionais. Pelo menos quando a base é o número "e", qualquer expoente é válido, e a função potência é contínua (sem buracos).
Agora, vamos usar essa constatação para redefinir a função potência, com o objetivo de admitir qualquer valor real como expoente. Usando as propriedades dos logaritmos:
10n = e(n × ln 10)
Como en e ln(n) são funções contínuas, a expressão como um todo é contínua, ao menos para x > 0.
Com tudo isso, podemos afirmar que 10π "não existe" pela definição original de potência, mas passa a existir se entendermos potência pela formula acima. A definição de potência que aprendemos no primário é apenas um caso-limite.
Mais um detalhe: como a origem de ln(x) e ex é a curva 1÷x, que é uma curva muito simples, tais funções são facilmente calculáveis através de séries infinitas, um algoritmo que usa apenas operações aritméticas simples, e o resultado torna-se mais preciso a cada ciclo. Basta rodar até o resultado atingir a precisão desejada. É uma forma muito apropriada de calcular algo num computador.
Todas as funções transcendentais - logaritmo, seno, cosseno, exponenciação etc. - são computadas usando séries infinitas. (Ou você achava que a calculadora tinha uma tabela de logaritmos e cossenos? ;)
Quando você faz 10π na calculadora, ela efetivamente usa a fórmula
eπ × ln(10)
pois além dessa potência "existir", é fácil de calcular e envolverá números pequenos. Imagine o trabalho de calcular 10π usando a aproximação racional
1031415926÷10000000 (ruim)
Os números envolvidos seriam gigantescos, o que se traduziria em lentidão e perda de precisão.
Com essa nova definição de potência, é possível fazer prova mais rigorosa dos casos aparentemente triviais onde um expoente é zero, negativo ou fracionário. Pode-se inclusive estender a função para os casos onde a base e/ou o expoente são números complexos.