Um livro bastante interessante surgiu nas bancas nos últimos tempos: "e": A história de um número". Ele é relativamente curto, fácil de digerir para quem entende um mínimo de matemática, e bastante divertido. Altamente recomendado.

A história do número e = 2.718281828... confunde-se com a história do cálculo integral e diferencial. Foi a tentativa de calcular a área de uma curva aparentemente simples (y = 1÷x) que inspirou Newton e Leibnitz a estudarem processos infinitos, e assim toparem com o cálculo e com o número "e".

Muitos outros já haviam aproximado o valor de "e" antes (até os babilônios, em cálculos financeiros). Eu mesmo topei com o número "e" numa simulação financeira, mas nem eu nem os babilônios compreenderam a importância disso à época, pois não sabiam cálculo ;)

O número "e" tem inúmeras facetas. A que pretendo mostrar envolve algo relativamente simples - a função potência, ensinada no primário da seguinte forma:

10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10

Potência é, a princípio, uma forma compacta de expressar uma multiplicação repetida. Quando o expoente (no caso acima, 4) é inteiro positivo, esse modelo é suficiente. Também aprendemos no ensino fundamental algumas propriedades envolvendo potências de mesma base, todas facilmente provadas por indução:

10⁴ × 10² = 10⁽⁴⁺²⁾ = 10⁶

10⁴ ÷ 10² = 10^(4-2) = 10²

(10⁴)² = 10^(4×2) = 10⁸

Agora, seria admissível um expoente zero ou negativo? A definição primeira de potência não comporta essa idéia. Mas as propriedades das potências de mesma base justificam tais expoentes:

10³ ÷ 10³ = 10^(3-3) = 10⁰ = 1

    (pois 1000 ÷ 1000 = 1, então 10⁰ deve ser 1)

10² ÷ 10⁴ = 10^(-2) = 1 ÷ 10² = 0,01

    (pois 10 ÷ 1.000 = 0,01, então 10^(-2) = 1 ÷ 10²)

E um expoente não-inteiro? Vamos começar com o caso de um expoente na forma 1÷x. Esse tipo de fração tem um nome bonito, mas não lembro agora :) Que valor poderia sair de

8^(1÷3)?

Usando um pouco a imaginação, poderíamos dizer que o resultado deveria ser "um terço" de oito, mas um "terço multiplicativo", de modo que

8^(1÷3) × 8^(1÷3) × 8^(1÷3) = 8

Ora, 2 × 2 × 2 = 8, então o "terço multiplicativo" é nada mais que a raiz cúbica de 8. Uma potência de 1÷2 seria a raiz quadrada, 1÷4 a raiz quarta, e assim por diante.

Essa nossa suposição parece ser verdadeira porque ela funciona em todas as situações estudadas antes (soma de potências de mesma base, potência negativa, etc.). Exemplo:

[10^(1÷2)]⁴ = 10^(4/2) = 10² = 100

Se calcularmos a raiz quadrada de 10 usando aquele algoritmo manual, e elevarmos o resultado à quarta potência, chegamos a 100. Então, representar raízes como expoentes (1÷x) parece estar correto. Fizemos uma presunção no estilo "vai que dá" e aparentemente funcionou.

Se o expoente for um número racional na forma (x÷y), basta considerar que

a^(x÷y) = "a" elevado a potencia "x", e em seguida extrai-se a "y"-ésima raiz

Há alguns testes que devemos fazer para ver se essas nossas "invenções" funcionaram mesmo. Um deles é o teste de "suavidade". A função suave não dá saltos, não tem buracos e guarda proporcionalidade entre parâmetro e resultado.

Outro teste é verificar se temos uma função monótona (só cresce ou só diminui) ou periódica. Vamos começar por este, que é mais fácil:

2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16

Ou, mais genericamente:

2^x+1 = 2 x 2^x
0,1^x+1 = 0,1 x 0,1^x

A função potência é claramente monótona: quando a base é maior que 1, o resultado é tão maior quanto maior fizermos "x", sem falhar. Se a base é um valor entre 0 e 1 (exclusive), o resultado só cai conforme "x" aumenta, sem falhar.

Agora vem um teorema interessante, o "teorema do sanduíche". Ele diz o seguinte:

Se x1 <= x2 <= x3, então
f(x2) tem de ficar entre f(x1) e f(x3)
se a função "f" é suave

Na prática: Se x1=1, x2=2 e x3=3, temos que 2¹=2 e 2³=8, então o resultado de 2² tem cair entre 2 e 8 (e cai, já que o resultado é 4).

Só podemos considerar as potências negativas, fracionárias e racionais como "válidas" se elas passarem no teste do sanduíche. Testando com expoentes entre 2 e 3:

2² = 4 (limite inferior)
2³ = 8 (limite superior)

2^2,5 = 2^5/2 = 5,6568...
2^2,25 = 2^9/4 = 4,7568...
2^2,125 = 2^17/8 = 4,3620...
2^2,0625 = 2^33/16 = 4,1771...
2^2,03125 = 2^65/32 = 4,0875...

Pelo menos num teste empírico, o teorema do sanduíche parece ser respeitado. Existem provas rigorosas a respeito disso, então podemos relaxar quanto a isto e seguir para "a grande encrenca": expoentes irracionais.

Uma característica necessária da função suave é não possuir "buracos", ou seja, valores de "x" sem resultado. Ou, pelo menos, possuir um número finito de buracos. Por exemplo a função y=1÷x, que possui um buraco em x=0, é considerada suave. Talvez haja buracos na função poténcia, porque não a definimos para expoentes irracionais. Considere estes casos:

2^√2 = ?
10^π = ?

Tanto √2 quanto π são números irracionais, e isso é conhecido desde há muito tempo. A propósito, para quem não lembra, número irracional é aquele que não corresponde exatamente a nenhuma fração.

Se não há como expressar π como fração, 10^π não existe, pois não há como elevar 10 ao numerador, e depois tirar a raiz n-ésima apontada pelo denominador. Achamos um indesejável buraco. Pior: existem infinitos números irracionais, portanto os buracos da função potência também seriam infinitos, o que lhe tira a suavidade.

Esse problema me ocorreu pela primeira vez na 7^a série. Perguntei para o professor, e ele sugeriu usar uma aproximação (formalmente conhecida como limite), que consiste em aproximar o resultado "arredondando" o número irracional para um número racional. Exemplo:

10^π "não existe", mas 10^{(31415926/10000000)} existe, e é uma aproximação boa.

Isso resolve o problema do ponto de vista prático: podemos aproximar do valor verdadeiro de 10^π tanto quanto quisermos, basta usar expoentes fracionários (com numeradores e denominadores enormes). Mas isto não prova que uma potência com expoente irracional realmente exista.

Para fecharmos esses buracos, precisaremos redefinir a função potência de outra forma, radicalmente diferente. Prepare-se para descobrir que te ensinaram um monte de mentiras no ensino fundamental :)

Considere a curva y = 1÷x, aparentemente simples. Vários matemáticos tentaram, sem conseguir, calcular a área sob essa curva. Esse problema só foi resolvido com o advento do cálculo.

A função 1÷x é contínua e suave, ou seja, não tem os famigerados buracos, mesmo quando x é irracional. Existe exatamente uma descontinuidade em x = 0, mas como é apenas uma, podemos lidar com isso.

O que já se sabia antes do cálculo, é que a área sob essa curva cresce logaritmicamente com o avanço de x. Devido a isso, a função-área dessa curva foi batizada de "ln". Então:

y = 1÷x

ln(x) = área sob a curva 1÷x, a partir de x = 1, para frente ou para trás.

A área começa a ser contada a partir de x = 1, pois x = 0 é uma descontinuidade. Para calcular ln(2), contamos a área de x = 1 até x = 2. Para calcular ln(0.5), contamos a área de x = 1 até x = 0.5 andando para trás e tomando o resultado como negativo.

Na verdade, batizar a função como ln(x) foi um ato de fé. A noção de uma função logaritmica não era firme antes do cálculo. Nem sequer era certo que ln(x) realmente comportava-se de acordo com as leis dos logaritmos. Para piorar, a base do hipotético logaritmo ln(x) não era perfeitamente conhecida; mas parecia ser um número em torno de 2.718...

Ninguém sabia como calcular o valor exato de ln(x). A forma "burra" seria traçar a curva num papel quadriculado e contar os quadradinhos, mas isso não prova nada, apenas *sugere* a grandeza do resultado.

Hoje, sabemos que a área sob uma curva é a integral definida. Para achar ln(x), basta calcular a integral de 1÷x. Mas tal conceito era desconhecido antes de Newton e Leibniz.

Se a função 1÷x é contínua em intervalos controlados, a área sob essa curva também é uma função contínua, portanto ln(x) é contínua para x > 0. De acordo com a definição de logaritmos:

log 1000 = 3, pois 10³ = 1000, e log(x) é o logaritmo na base 10.

Se ln(x) é uma função logarítmica, tal qual log(x), tem de haver uma base para ln(x). Suspeitava-se que era um número em torno de 2.71828, mas apenas com o advento do cálculo foi possível provar isso.

Outra coisa que o cálculo provou, é que todas as propriedades dos logaritmos também se aplicam à função ln(x). Foi um caso de "duck typing" matemático - se a função grasna como um pato e anda como um pato, então é um pato.

Uma vez provado que ln(x) existe, que é uma função logarítmica para todos os efeitos práticos, que a base de ln(x) existe e é o número "e", a função exponencial é definida como o inverso da função logarítmica:

y = ln(x)

x = e^y

A função y = ln(x) é contínua (sem "buracos") para x > 0, e o seu resultado (y) pode ser calculado para qualquer número real. Portanto, o contrário também é verdadeiro: e^y é contínua, e "y" pode ser qualquer número real, inclusive zero, negativo, fracionário ou irracional.

Assim, conseguimos abrir uma exceção para as potências com expoentes irracionais. Pelo menos quando a base é o número "e", qualquer expoente é válido, e a função potência é contínua (sem buracos).

Agora, vamos usar essa constatação para redefinir a função potência, com o objetivo de admitir qualquer valor real como expoente. Usando as propriedades dos logaritmos:

10ⁿ = e^{(n × ln 10)}

Como eⁿ e ln(n) são funções contínuas, a expressão como um todo é contínua, ao menos para x > 0.

Com tudo isso, podemos afirmar que 10^π "não existe" pela definição original de potência, mas passa a existir se entendermos potência pela formula acima. A definição de potência que aprendemos no primário é apenas um caso-limite, que só vale para números racionais.

Mais um detalhe: como a origem de ln(x) e e^x é a curva 1÷x, que é uma curva muito simples, tais funções são facilmente calculáveis através de séries infinitas, um algoritmo que usa apenas operações aritméticas simples, e o resultado torna-se mais preciso a cada ciclo. Basta rodar até o resultado atingir a precisão desejada. É uma forma muito apropriada de calcular algo num computador.

Todas as funções transcendentais - logaritmo, seno, cosseno, exponenciação etc. - são computadas usando séries infinitas. Ou você achava que a calculadora tinha uma tabela de logaritmos e cossenos? ;)

Ou você achava que, quando faz 2⁵⁰ na calculadora, ela realmente faz cinqüenta multiplicações? Nada disso, a calculadora faz o mesmo esforço para calcular qualquer potenciação, não interessa qual é a base ou o expoente.

Quando você faz 10^π na calculadora, ela efetivamente usa a fórmula

e^{π × ln(10)}

pois além dessa potência "existir", é fácil de calcular e envolverá números pequenos. Calcular 10^π usando a aproximação racional 10^{31415926÷10000000} seria burrice: envolveria números gigantescos, o que tornaria a calculadora cara e lenta, sem devolver nenhum benefício em termos de precisão.

Com essa nova definição de potência, é possível fazer prova mais rigorosa dos casos aparentemente triviais onde um expoente é zero, negativo ou fracionário. Pode-se inclusive estender a função para os casos onde a base e/ou o expoente são números complexos.