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É incrível como as aulas de matemática, em qualquer grau de ensino, falham em mostrar a importância prática e histórica de certos temas. Num primeiro artigo sobre o número de Euler, mostramos como evoluiu o conceito de potenciação. Neste artigo, pretendemos falar sobre a "promiscuidade" entre o número 'e' e as funções trigonométricas.
Em primeiro lugar, vamos relembrar alguns fatos da vida prática. Você já reparou que...
A qualidade de som de um telefone, ou a falta dela, tem a ver com o fato que telefone é um meio de comunicação de "banda estreita". Por isso Internet discada é lenta. Banda estreita significa que uma faixa estreita de freqüências sonoras pode passar pelo sistema telefônico -- normalmente de 300Hz a 3400Hz.
Para quem não está muito acostumado a Hertz, basta dizer que 300Hz significa 300 ciclos por segundo. É a freqüencia fundamental da voz humana. A fundamental do Dó central do piano é quase exatamente 291Hz. A maioria dos instrumentos musiciais produz sons próximos a este número. É um som que qualquer ser humano chamaria de "médio" -- nem grave nem agudo.
Mas, se 300Hz é um tom médio, o telefone parece transmitir a faixa errada de sons. Qualquer som abaixo de 300Hz seria perdido, afinal há muita gente que fala grosso... E transmitir sons de 3400Hz parece muito alto, pois absolutamente ninguém tem voz tão aguda. Talvez seja útil para a conexão à Internet, mas não para falar.
Antes de esclarecer este aparente problema, vamos visitar brevemente os outros exemplos dados. A Internet banda larga usa freqüências bem acima da normalmente usada para voz. "Alargando" a gama de sons transmitida pelo fio, aumenta-se a velocidade.
A rádio FM soa melhor que AM por dois motivos. Primeiro porque também usa "banda larga", só que desta vez na transmissão de rádio, não num fio telefônico. O espaçamento entre estações de FM tem de ser bem maior que entre estações AM; por isso as estações FM são limitadas a 200 km de alcance, enquanto AM pode transmitir nacionalmente. O outro motivo é que a codificação do sinal é mais robusta em FM, sendo mais resistente a ruídos. O "modem" FM é melhor que o modem AM, por assim dizer.
Os alto-falantes têm tamanhos diferentes porque são, individualmente, de banda estreita: conseguem transmitir o som em apenas uma faixa relativamente pequena de freqüências, devido a suas limitações mecânicas. Assim, precisamos vários tipos para reproduzir todas as freqüências que o ser humano consegue ouvir (todavia, um cachorro ou um gato ainda achariam o som um tanto "fanho", pois eles podem ouvir ultra-sons que os aparelhos não reproduzem).
Quando mencionamos que a voz humana têm a freqüência fundamental de 300Hz, estamos ignorando a forma de onda desta voz. Se capturarmos nossa voz no computador e analisarmos os "samples", veremos que a voz tem uma forma de onda bastante complexa, mas que é periódica, repetindo-se em torno de 300 vezes por segundo.
A forma de onda dita o timbre, ou seja, a "cor" do som, que nos permite distinguir entre a voz de uma pessoa e o som de um piano ou de um violino, ou de qualquer outro instrumento.
Desta forma, continuamos concluindo que o telefone transmite freqüências muito altas de forma desnecessária. E ainda assim ele soa abafado. Afinal, qual é o problema? Poderia ser uma distorção gerada por circuitos de má qualidade?
Se gravássemos nossa voz ao telefone (depois de ter passado pelo sistema telefônico), e comparássemos a forma de onda com a voz original, notaríamos que a voz do telefone teria uma onda mais "arredondada", com alguns "detalhes" aplainados ou simplesmente ausentes.
Tal arredondamento é também causado por distorções, ou seja, defeitos, do circuito telefônico. Mas o motivo fundamental desse arredondamento é outro. É que
OS MEIOS FÍSICOS NÃO PODEM TRANSMITIR FORMAS DE ONDA ARBITRÁRIAS (OU SEJA, COMPLEXAS)
Não só a voz humana como qualquer instrumento musical produz formas de onda complexas demais para serem transmitidas por um meio físico como o ar ou o telefone. Sempre haverá um arredondamento se a banda for estreitada de alguma forma.
Agora, a dúvida é exatamente oposta: se um meio físico não consegue transmitir ondas complexas, por que ainda assim a voz humana ou um instrumento musical soa tão bem "ao vivo", embora soe abafado ao telefone? Afinal, o ar também não é um meio físico?
Bem, um meio físico tem seu "segredinho" para transmitir ondas de formato complexo. Ele transmite essa onda em partes separadas, em freqüências separadas. Todas as partes são "somadas" novamente no nosso ouvido, de modo que pensamos ouvir o som original, complexo e brilhante. Note que tudo isso acontece pela própria natureza!
O sistema telefônico faz a mesma coisa, porém como ele tem banda estreita, limitada a 3400Hz, nem todos os detalhes podem ser transmitidos. Alguma coisa é perdida, e essa perda é percebida no outro lado como som abafado.
Mas, afinal, qual o formato de onda que um meio físico pode transmitir de forma "natural", sem precisar transmitir cada parte em separado? Resposta:
APENAS A ONDA EM FORMA DE SENO (SENÓIDE) PODE SER NATURALMENTE TRANSMITIDA POR UM MEIO FÍSICO.
TODAS AS DEMAIS FORMAS DE ONDA SÃO TRANSMITIDAS COMO UMA SOMA DE SENÓIDES DE FREQÜÊNCIAS DIFERENTES.
Mas... porque logo a senóide, uma curva difícil de traçar, que não se parece com nada? Não poderia ser a onda quadrada, ou triangular, ou qualquer coisa mais fácil?
Esta descoberta foi uma das grandes conquistas da matemática do século XVIII, logo após a descoberta do cálculo. Foi tão importante à época como foi importante a viagem à Lua para nossos pais, ou a Internet para nós.
Vamos seguir passo a passo a conclusão sobre a forma de onda transmissível por um meio físico. Vamos usar um sistema massa-mola como "cobaia", por ser muito simples. Imagine um gordo em cima de uma balança de mola :) sem qualquer tipo de amortecimento. Este é um meio físico estacionário; ele oscila numa determinada freqüência, mas a "onda" da oscilação não pode se propagar.
Em primeiro lugar, vamos constatar que todo meio físico de trasmissão é constituído de duas forças antagônicas, que "brigam" entre si. O exemplo mais clássico é o sistema massa-mola: o peso empurra a mola para baixo, a mola empurra o peso para cima. É a energia potencial gravitacional contra a energia elástica da mola. Outro exemplo clássico é o pêndulo (velocidade versus altura).
O som se propaga no ar pelo antagonismo entre a pressão do ar (que age como uma mola) e seu peso. A onda se propaga no mar pelo antagonismo entre o peso da água e a tensão superficial dela. A corda do violão absorve a palhetada pois tem peso (e portanto absorve energia cinética), mas é freada pelo esticamento.
A luz e as ondas de rádio, sendo ondas eletromagnéticas, também se propagam por este mecanismo, mas neste caso não envolve matéria, e sim energia. A variação de um campo magnético produz um campo elétrico. A variação de um campo elétrico produz um campo magnético. Os dois conseguem "alimentar-se" mutuamente, e desta forma viajam pelo espaço sem precisar de matéria como apoio.
Os exemplos abundam. Resta saber que forma de onda consegue se propagar nestes meios. Note que a *variação* de uma grandeza *alimenta* a outra. O pêndulo é empurrado para baixo pelo seu peso, e isto faz sua velocidade aumentar. A variação da altura alimenta sua velocidade.
Essa alimentação ocorre também no sentido inverso: a velocidade do pêndulo permite que ele suba. E na medida em que sobe, perde velocidade. A variação (negativa) da velocidade aumenta a altura.
Como a "fonte de alimentação" das duas grandezas é exatamente a mesma, podemos supor que a "onda" descrita pela velocidade seja a mesma descrita pela altura do pêndulo. Com apenas uma diferença: elas estão defasadas. Também podemos dizer que a função tem de ser periódica, afinal o pêndulo oscila indefinidamente, sem sair do lugar.
O sistema massa-mola é mais fácil que o pêndulo de descrever em termos matemáticos:
x = tempo f(x) = altura da massa (ou seja, sua posição) g(x) = energia cinética (velocidade) da massa h(x) = aceleração sendo imprimida no peso i(x) = energia armazenada na mola k = constante da mola (quanto maior k, mais "dura" é a mola) # já sabemos empiricamente que as funções f, g, h, i são periódicas # e na verdade são a mesma função, com um certo atraso entre elas. # de tempos em tempos o peso vai passar pelo mesmo lugar f(x) = f(x + período de oscilação) # antagonismo: peso alto (positivo), mola esticada (negativo) f(x) = g(x + período de oscilação/2) # Da cinemática, sabemos que aceleração é a variação da velocidade # e que velocidade é a variação da posição g(x) = f'(x) h(x) = g'(x) # logo a aceleração é a derivada segunda da posição (altura) h(x) = f''(x) # a energia armazenada na mola é função da sua compressão ou extensão # mas como o peso é preso na mola, é o peso quem puxa ou comprime a mola # logo a energia da mola é dependente da posição do peso i(x) = -k.f(x) # Ou seja, peso alto significa mola esticada, puxando pra baixo # ignorando a constante da mola, temos i(x) = -f(x) # A mola é quem puxa ou empurra o peso, proporcionalmente ao quanto ela está esticada ou comprimida, portanto h(x) = -i(x) # Juntando as diversas equações, podemos concluir que h(x) = f(x) # mas h(x) também é igual a f''(x), portanto f(x) == f''(x)
Ou seja, qualquer que seja a função que descreva uma onda "natural", ela tem diversas propriedades muito peculiares. A principal delas é ser igual à sua própria derivada segunda. Pouquíssimas funções atendem a este requisito.
Uma função que atende é a função constante. Digamos, f(x) = 0. Todas as derivadas desta função também são iguais a zero, portanto é uma possível solução. Na verdade este é o caso do sistema massa-mola em repouso, ou do pêndulo em repouso, ou do mar sem ondas. É uma solução válida mas não é muito útil.
Outra função que atende a este requisito é a função exponencial: f(x) = ex. Olha o número de Euler aparecendo. Qualquer derivada desta função é igual a ela mesma. Parece um candidato interessante, exceto que precisamos de uma função periódica no tempo. A função exponencial tende a infinito, o que certamente não descreve o comportamento real de um pêndulo ou de um oscilador.
A função que finalmente atende nossa necessidade é a função seno/cosseno. Por esquisita que seja, cumpre todos os pré-requisitos:
sin'(x) = -cos(x) cos'(x) = -sin(x) sin''(x) = (-cos(x))' = -(cos(x))' = -(-sin(x)) = sin(x) sin(x) = sin(x + 360 graus) cos(x) = sin(x + 90 graus) sin(x) = -sin(x + 180 graus)
Por ser "compatível" com os meios físicos de transmissão de informação, sejam quais forem, seno/cosseno é a única forma de onda que pode ser transmitida diretamente.
Portanto, quando se diz que o telefone transmite sons de 300Hz a 3400Hz, isto refere-se APENAS A SONS SENOIDAIS NESTAS FREQÜÊNCIAS. Sons de timbre diferente do senoidal estão sujeitos a não passar.
Então vem novamente a pergunta: como ondas mais complexas que a senóide ainda conseguem trafegar? A resposta foi dada pelo matemático Fourier. As séries de Fourier e a transformada de Fourier permitem gerar qualquer onda periódica através de uma soma de senos e cossenos de diferentes freqüências.
Ou seja, quando uma onda complexa tenta passar por um meio físico, este meio "calcula" uma transformada de Fourier e transmite inúmeras senóides de diferentes freqüências, para reconstruir o mais fielmente possível a onda original no destino. Naturalmente, quanto mais estreita for a banda do meio, menos fiel será esta reconstrução. Vide o som fanho do telefone comum.
Mas o número de Euler não vai ficar de fora assim tão facilmente.
O fato da função exponencial ser sua própria derivada indica que ela é, de alguma forma, ligada com as funções trigonométricas, muito embora ela não seja periódica. A primeira "prova" deste parentesco são as funções hiperbólicas, que são análogas às funções trigonométricas, embora diferentes.
Outro sintoma é a solução genérica de toda uma classe de equações diferenciais, da qual o problema massa/mola faz parte:
f(x) = eax . cos(bx + c)
Este tipo de solução aparece quando o sistema massa/mola tem um dissipador (por exemplo um amortecedor) ou um excitador. Com o amortecedor, o sistema ainda oscila, mas em movimentos cada vez mais fracos (fazendo a < 0). Na ausência de amortecedor, a=0. Se há um excitador, a>0 e o sistema oscila cada vez mais forte até (teoricamente) o infinito.
O casamento final entre funções seno e exponencial vem da fórmula de Euler:
eix = cos(x) + i.sen(x)
que redunda na famosa identidade de Euler:
eiπ + 1 = 0
Estas fórmulas mostram que, pelo menos no campo dos números complexos, há uma ligação íntima entre o número de Euler e a trigonometria. Note que, quando o expoente é complexo, a função ex vira uma função periódica, tal qual seno e cosseno.
O único problema é que números complexos são inúteis no mundo real; as igualdades acima são apenas formalismos... será mesmo?
Toda onda senoidal, seja viajante ou estacionária, tem três características fundamentais: freqüência, amplitude e fase. Qualquer cálculo envolvendo ondas precisa lidar com todos os três valores. Supondo uma transformada de Fourier de resolução muito baixa, cujo resultado fosse apenas quatro ondas senoidais. Alimentamos a transformada com, digamos, um som de piano, e a saída retorna:
Freqüência Fase (graus) Amplitude (%) ---------- ------------ -------------- 1 0 75% 2 90 10% 3 -45 5% 4 -91 1%Esta "receita de samba", ou melhor, de onda, nos diz que
f(x) = 0.75 cos(x) + 0.10 cos(x+90) + 0.05 cos(x-45) + 0.01 cos(x-91)
vai produzir o som original do piano. Como é uma tabela com 3 colunas, não temos como expressá-la num gráfico normal; precisaríamos de um gráfico em 3 dimensões, por causa da fase.
Existem alguns jeitos de se lidar com isso. O mais simples deles é ignorar completamente a fase. A "transformada discreta de cosseno" faz justamente isso: é uma transformada de Fourier que simplesmente não calcula a fase. Muitas aplicações na área de áudio usam esta solução, pois o ouvido humano ignora diferenças de fase. Mas outras aplicações não são tão lenientes.
Temos de lembrar também que a transformada de Fourier "original" é uma transformada *de funções*, não de dados. Transformada direta em cima dos dados é força bruta, é algo que podemos fazer porque temos computadores rápidos. No tempo de Fourier, nem calculadora havia, portanto a estratégia era transformar a função.
Assim, para uma determinada função de onda f(x), onde x representa o tempo correndo, existe uma transformada F(y) onde "y" representa a freqüência de onda senóide. Se, digamos, quisermos calcular a amplitude e fase da senóide para y=4, F(4) teria de retornar uma tupla {-91, 0.01}, e não apenas um número simples como qualquer outra função. Mas na matemática não existe esse negócio de uma função retornar uma tupla...
Outra solução é separar a transformada em 2 funções separadas. Nesta abordagem, a transformada de f(x) nos retorna 2 funções: F(y) para amplitudde e P(y) para fase. Assim, F(4) = 0.01 e P(4) = -91. Temos tudo o que precisamos. Mas é deselegante.
O matemático Caspar Wessel colocou o Ovo de Colombo em pé. Ele observou que os números complexos na verdade são uma tupla de dois números (a+bi). Observou a fórmula de Euler. Observou algumas outras igualdades "formais", e concluiu que as funções que envolvam ondas, como a transformada de Fourier, podem ser reescritas usando a função exponencial e números complexos.
Hoje em dia, a esmagadora maioria dos cálculos envolvendo ondas são expressos como potências complexas do número de Euler. De quando em vez, uma ou outra equação é reescrita da forma "real", como uma dupla de funções, provavelmente para dar ao leitor a certeza de que aquilo tem signfiicado no mundo real.
Então, usando números complexos, uma transformada de Fourier tem apenas uma função F(y), que retorna apenas um valor por freqüência, mas como este valor é complexo, ele contém amplitude e fase.
Note que, para empacotar fase e amplitude, não basta construir um número complexo 0.01-91i. O número complexo armazena fase e ângulo da seguinte forma:
Portanto, os valores 0.01 e -91 graus são coordenadas polares, e os números complexos constituem coordenadas cartesianas. Isso parece meio estúpido pois parece exigir conversões freqüentes de/para coordenadas polares.
Mas existe uma forma simples de sintetizar uma onda diretamente a partir das coordenadas cartesianas. Basta fazer
f(x) = a.cos(x) + b.sin(x)
Embora não pareça óbvio, esta função pode gerar uma senóide com qualquer fase, bem como qualquer amplitude; basta dosar corretamente os multiplicadores "a" e "b". Note a semelhança com a fórmula de Euler.
A transformação polar para cartesiano talvez não seja necessária quase nunca, visto que a entrada da transformada de Fourier é sempre uma onda "real" (realmente não existem ondas com valores imaginários no mundo real...), e a saída da transformada já fornece os números complexos "prontos" em coordenadas cartesianas.
A transformada de Fourier é apenas uma de uma infinita família. Sendo mais específico, é um caso especial da Transformada de Laplace, cujo equivalente em processamento digital de sinais é a transformada Z. O poder das transformadas é que elas processam tuplas de valores, e retornam outras tuplas. Matematicamente falando, transformam um plano cartesiano em outro. Uma função simples só tem um valor de saída, embora possa ter várias entradas; portanto só pode traçar uma linha, e não desenhar um plano.
As transformadas são viáveis quando os números complexos podem ser encarados como tuplas em aplicações que envolvam ondas e trigonometria. E isto só é possível graças ao Número de Euler e suas conseqüências.