Aviso: este artigo pode deixar você doidão.

Meu filho está naquela idade safadinha, três para quatro anos, em que as crianças testam os nossos limites o tempo todo. Ele pede uma bala, a gente diz "ok, só uma!", aí ele pensa, olha para a mão, aí mostra uns dedinhos e retruca: "só três", "só quatro". Às vezes está mais abusado que o usual e vai dizendo "só dez"!

Me bate então a curiosidade: como ele enxerga os números? Por exemplo, o número três; o que ele pensa quando fala "três"? Um gosto doce na boca mais longo que o normal? Três dedinhos? Ou talvez uma bala em cada mão e mais uma sobrando?

Mas, pensando melhor, o que significa exatamente "três"? Três laranjas, três bananas. Porque dizemos que aquele cesto tem três em vez de quatro, cinco ou duas frutas?

Que diferença faz, afinal? Para que ficar contando as coisas? Animais não contam e sobrevivem numa boa sem esta capacidade. Até que ponto o "três" realmente existe na Natureza, independente da vontade humana de rotular as coisas e as quantidades?

Outra pergunta que pode angustiar filósofos e teólogos: se há infinitos números inteiros, como Deus lidaria com isto? Será que Ele conhece todos os números? Seria isto possível? (Taí uma coisa muito mais interessante e importante para os cristãos estudarem, do que ficar discutindo se posição sexual A ou B é pecado.)

Aprendemos que 2 + 3 = 5. Quem garante que isto é verdade? Se não sabemos definir o que é "dois" ou "três", como podemos dizer que a soma dos dois dá "cinco"? O que é somar? A professora dizia que não se pode somar laranjas e bananas. Quem garante que "dois" e "três" não são, também, entidades incompatíveis, frutas diferentes?

Ok, antes de prosseguir por este caminho, vou contestar outra coisa: a forma que usamos para representar números. Por exemplo, porquê "três" é 3? Ou, mais direto ao ponto, porque "vinte" é 20?

Vinte dedos eu consigo visualizar, se pegar um martelo e bater no dedo da mão ou do pé eu vou saber que ele está lá, mesmo sem enxergar. Mas "2" e "0" justapostos significam a mesma coisa?

Ok, é a tal do sistema decimal, ou melhor, o sistema posicional decimal. "Posicional" porque a posição do número muda seu significado. O "2" do lado esquerdo do "0" significa "duas mãozadas cheias de dedos". É um sistema prático para representar grandes quantidades, como a dívida pública.

Quem trabalha com informática aprende outros sistemas, todos posicionais: o hexadecimal, o binário, os mais velhos na profissão aprenderam até o octal. Quem enveredou pela ciência da computação teve contato breve com o sistema ternário.

Mesmo o sistema binário tem dois dígitos: 1 e 0. É possível um sistema numérico com apenas um dígito? O senso comum diz que não, já que sobraria apenas o dígito zero, e qualquer sequência de zeros, por mais longa que seja, vale apenas zero. Daí a expressão "zero à esquerda"...

Mas o sistema unário existe, e ele usa apenas o "1". O senso comum nos engana porque todos os outros sistemas têm zero, mas o unário é exceção. Também pensamos que o zero é necessário para posicionar os dígitos no número, mas veremos que o unário não precisa disto.

Bem, e como representar números em unário? Três é 111, cinco é 11111, um é 1, dez é 1111111111. O sistema unário não só existe como ele é bastante usado. Basta lembrar daquela cena clássica do cara na prisão, riscando palitinhos na parede para contar os dias.

Quando você era pequeno, aprendeu a contar em unário, usando os dedinhos.

O zero, ou quantidade nula, é representado simplesmente pela ausência do número. Isto às vezes é um problema porque não existe uma distinção entre "zero" e "nada". Uma cela sem nenhum palitinho riscado na parede pode ser tanto uma cela recém-pintada quanto uma cela onde as pessoas só ficam presas por poucas horas.

Um "antídoto" para a falta do zero é representar os números com um deslocamento. O preso entra na cela e já risca um palitinho na parede. O próximo preso saberá que alguém esteve preso ali por pelo menos a fração de um dia...

O sistema de numerais romanos é essencialmente unário, a única "melhoria" em relação ao unário puro é que os palitinhos podem ser aglomerados e.g. usando IV em vez de IIII. Mas expressar quatro como IIII em romano não é errado; vi relógios antigos que usam IIII em vez de IV. A rigor não é errado expressar cinco como IIIII, embora comece a ficar chato.

Assim como o sistema unário, os numerais romanos não têm o zero e também são pouco práticos para fazer contas com caneta e papel.

Concluindo, vemos que o sistema unário existe e é perfeitamente válido. Mais: é mais fácil enxergar o real significado de um número (como "três") no sistema unário.

Mais: o sistema unário tem algumas propriedades únicas, talvez de valor mais teórico que prático, mas ainda assim importantes do ponto de vista científico. Podemos usar expressões regulares para manipular números unários e realizar operações aritméticas ou determinar se um número é primo.

Voltando às nossa dúvidas existenciais: o que é três? Por que dois mais dois é igual a quatro? Se eu não conseguri definí-los, talvez tudo que se aprende na escola, na aula de matemática, seja pura balela para distrair a petizada enquanto os pais vão trabalhar.

Ao mesmo tempo, "sentimos" que os números têm um certo sentido prático. Até analfabetos sabem contar dinheiro, por exemplo.

Pois bem, o matemático Giuseppe Peano debruçou-se sobre estas questões, e conseguiu chegar a um conjunto de definições (axiomas) extremamente compacto, que define perfeitamente o que é número, o que é soma, etc.

Peano começa definindo a função sucessora, que abreviarei oportunamente para S(). Todo número tem um sucessor; esta é a essência do número.

Com esta definição, podemos definir perfeitamente o que é "três": é o sucessor de 2. Nada mais. É claro, aí temos um novo problema: definir o que é "dois". Mas agora ficou mais fácil: "dois" é o sucessor de um, e "um" é o sucessor de zero.

Assim, a definição completa de "três" é S(S(S(0))). O rótulo "três" é uma mera palavra que escolhemos para rotular o terceiro sucessor de zero.

Naturalmente podemos definir uma função "antecessora" A(x), tal que S(A(x)) = x. A(4) é igual a 3.

Os axiomas de Peano são uma formalização dos números naturais. Não há números negativos. O zero é especial porque não existe A(0), e porque é elemento neutro na adição. A propósito, adição é definida por Peano desta forma:

x + 0 = x
x + S(y) = S(x + y)

# Aplicando a definição para 2 + 3
# A definição tem de ser aplicada recursivamente
2 + 3
2 + S(2)
S(2 + 2)
S(2 + S(1))
S(S(2 + 1))
S(S(2 + S(0)))
S(S(S(2 + 0)))
S(S(S(2)))
5

De forma semelhante, a multiplicação é definida por Peano como:

x . 0 = 0
x . S(y) = x + (x . y)

O curioso da definição acima é que o elemento neutro da multiplicação (que é o número um) emerge naturalmente, sem ser citado na definição e sem ter status "especial" em Peano.

A partir destas regras básicas podemos definir todas as outras coisas, por exemplo o que é um número primo.

E está um pouco mais claro (pelo menos para mim) como Deus lida com a infinitude dos números naturais. Ele apenas criou as regrinhas acima. Ou criou Peano para fazer este serviço :)

Agora, a constatação que frita o cérebro: podemos definir um "sistema numérico" completamente arbitrário, que siga as regras de Peano, mas sem qualquer significado intrínseco ou ligado à realidade. Até porque "realidade" e "significado intrínseco" são conceitos em si mesmos abstratos.

Por exemplo, vou bolar um sistema numérico baseado em caracteres Unicode engraçadinhos, e vou batizá-lo de Mariju:

  ⥁
S(⥁) = ⤨      S(⤨) = ✺     S(✺) = ∇
S(∇) = ⧯      S(⧯) = ℗     S(℗) = ♣
S(♣) = ♠      S(♠) = ♕     S(♕) = ☹
S(☹) = ✈      S(✈) = ⚑     ...

Em Mariju, os conceitos de elemento neutro, soma, multiplicação, números primos, etc. etc. são todos válidos, embora cada "número" Mariju não tenha significado intrínseco nenhum!

Por exemplo, ♕ é simplesmente ♕, nada mais. A única coisa que sabemos sobre ♕ é que ele é o sucessor de ♠. Nada nos autoriza a dizer que ♕ vale nove. Liberte sua mente: "nove" e ♕ são conceitos igualmente abstratos e divorciados da realidade.

É bem verdade tanto os números naturais quanto Mariju têm a mesma cardinalidade, pois ambos obedecem aos axiomas de Peano. Qualquer outro sistema que concebermos também terá, desde que obedeça Peano.

E por conta disto, podemos estabelecer uma relação entre um conjunto e outro. Novamente, não somos obrigados a relacionar ♕ com 9, embora a relação mais simples possível (parear os elementos neutros e respectivos sucessores) acabe conduzindo a isto.

Alguém poderia dizer que Mariju não é equivalente aos números naturais porque não podemos fazer de Mariju um conjunto infinito, como são os naturais. Teríamos de atribuir um símbolo diferente para cada sucessor e logo a criatividade (ou a tabela Unicode) ia esgotar.

Bem, isto não desqualifica Mariju. Sempre podemos inventar símbolos novos, na medida em que números maiores e maiores forem sendo necessários.

É verdade que descobrimos uma vantagem dos sistemas numéricos "normais": como são definidos recursivamente, eles permitem expressar qualquer número com um punhado de símbolos (dez, no sistema decimal, dois no binário, e apenas um no unário).

Ainda assim, é uma vantagem prática prática, não um problema teórico de Mariju. Também podemos adotar outra saída: tornar Mariju um sistema finito, ou seja, um "campo". Basta fazer:

S(⚑) = ⥁

Ou seja, o sucessor da "bandeirinha" (relacionada ao número onze) é o elemento neutro ("zero"). Todos os elementos agora têm sucessor e não precisamos criar mais símbolos.

Ok, isto torna Mariju um sistema finito, com características um pouco diferentes, mas nem por isso inútil ou ilegítimo. Fica análogo a um campo com números de 0 a 11.

Como o sucessor de 11 é 0, a adição de dois números pode dar um resultado menor que as parcelas. Por exemplo, 10 + 3 = 1. Exatamente como num relógio: passadas três horas das dez da noite, será uma da manhã. (Não foi por acaso que constituí Mariju com doze símbolos.)