Avaliando outros investimentos como se fossem opções

Digamos que você não sinta a menor atração pelo mercado de opções. Mas ainda assim é útil pensar alguns tipos de investimento como se fossem opções.

O exemplo canônico é uma empresa em situação falimentar, com patrimônio líquido negativo. Parece absurdo as ações ou quotas de uma empresa assim terem valor. Mas têm.

A razão é a seguinte: quem compra uma ação, tem responsabilidade limitada. O valor da ação pode bater em zero, mas um acionista nunca vai ser obrigado a colocar mais dinheiro em cima para cobrir o patrimônio negativo. (É por isso que existe o processo de falência; é basicamente um calote abençoado pela lei).

E é exatamente assim que uma opção funciona: quem detém uma opção, pode perder no máximo o prêmio que pagou. Mas pode ganhar muito, ainda que a chance seja pe É por isso que ações e quotas equena. Da mesma forma uma empresa falimentar pode achar um comprador, ou pode se levantar, ou talvez consiga pagar as dívidas vendendo todos os seus ativos e ainda sobre um troquinho.

Assim, podemos inclusive calcular o valor de tais empresas falimentares usando Black & Scholes. Mas para usar B&S precisamos saber quanto tempo a empresa ainda tem.

A principal diferença entre a ação falimentar e a opção é que a opção tem data para ser exercida ou virar pó. Uma empresa falimentar normalmente tem vários anos de horizonte. Naturalmente, uma data crítica como julgamento da falência pode ser tomada como "a hora da verdade" para a ação-opção.

Outro tipo de ativo que se presta bem à avaliação como opção, é a concessão de mineração. Como o leitor talvez já saiba, todo recurso do subsolo pertence ao governo, o que ele dá é uma concessão por tempo determinado.

Então: se eu tenho concessão de duas minas: uma concessão acaba em 2 anos, a outra acaba em 20. A possança (conteúdo estimado) das minas é a mesma, e eu consigo tirar tudo da mina em 2 anos mesmo. Qual delas vale mais?

Você está vendo aí os preços do petróleo, do ferro etc. subindo. E tudo indica que vão continuar subindo, considerando o muito longo prazo. A mina de 2 anos, eu preciso extrair e vender tudo agora, ao preço que me oferecerem. Por outro lado, a mina de 20 anos eu posso deixar lá em banho-maria, extraindo apenas quando os preços estiverem lá na estratosfera.

Então obviamente a mina com 20 anos de concessão vale mais, embora tenha a mesma possança da outra. Mas os métodos normais de avaliação falham nesse quesito; eles vão considerar o preço atual do ferro, multiplicar pela possança e era isso. Para dar o devido valor ao tempo, preciso pensar nesse ativo como se ele fosse uma opção.

Na verdade, se sonharmos alto o bastante, absolutamente todo ativo pode ser tratado como uma opção. Como foi dito antes, uma ação é de certa forma uma opção, pois o possuidor de ações nunca vai ter de "pagar por cima" em caso de falência.

As "gregas" de uma opção

As chamadas "gregas" de uma opção são, tecnicamente, derivadas parciais do preço da opção em relação a uma ou mais variáveis que são fornecidas como entrada. Em bom português: dizem o que acontece com o preço da opção se as condições do mercado mudam.

Costuma se dizer que as "gregas" têm esse nome em função das letras gregas, mas na verdade a maioria delas, em particular as menos conhecidas, usam letras não-gregas. Quem criou o apelido estava pensando nos nomes das estrelas de uma determinada constelação.

Como qualquer cálculo financeiro, as gregas SUGEREM o que vai acontecer com o preço da opção. É claro que na prática o mercado pode comportar-se de maneira diferente. E como vimos, quando o preço de uma opção no mercado foge do valor teoricamente previsto, quem leva a culpa é a volatilidade, daí o conceito de "volatilidade implícita" -- a que faz teoria coincidir com mercado.

Não vou colocar as fórmulas das gregas aqui. Podem ser facilmente obtidas na Wikipedia, e são realmente muito complexas. Não seria nada prático calculá-las à mão. Sem mais delongas:

DELTA: Diz quantos centavos o preço da opção vai subir, se o preço da ação subjacente subisse $1. No caso do exemplo do post anterior, o delta é igual a 0.7123. Ou seja, a opção sobe 71 centavos para cada real de aumento em VALE5.

Mas o delta também varia com a variação dos preços, de modo que temos:

GAMA: Indica quanto o DELTA iria variar, quando a ação subjacente subisse $1. Para o exemplo, gama = 0,0628. Ou seja, se VALE5 subisse de 52,06 para 53,06, o Delta já passaria a ser de 0.7751.

Para quem curte uma matemática, o delta é a derivada parcial do valor da opção em relação ao preço da ação, e o gama é a segunda derivada parcial das mesmas variáveis.

TETA ou THETA: Indica quanto o valor da opção irá mudar pela passagem do tempo. O theta do exemplo é igual a -0.0621/dia. O resultado é sempre negativo, pois na verdade o valor da opção é quase todo uma conseqüência do futuro incerto. Na medida que o tempo escoa, o futuro vai chegando perto e o valor da opção vai caindo.

Quando a opção está há poucos dias de expirar, o THETA cresce muito depressa, em particular para opções fora do dinheiro (que vão virar pó). Quem quer comprar opções tem de ficar de olho no theta sempre.

Delta, gama e theta são as "gregas" mais importantes para avaliar investimentos simples em opções, pois indicam o potencial de valorização rápida (delta) e o desgaste pelo tempo (theta).

Das três, delta tem a maior importância teórica pois é o conceito central do cálculo de Black&Scholes: comprar "delta" ações e tomar um certo valor emprestado no banco gera o mesmo retorno que comprar opções, logo o valor dos dois é igual. No caso do mercado brasileiro, com as opções líquidas sempre muito perto do vencimento, o theta acaba sendo mais importante.

Outras "gregas" comumente encontradas:

VEGA: mudança do preço da opção quando a volatilidade subir 1%. Menos útil porque a volatilidade teórica acaba sendo sempre substituída pela volatilidade implícita, fazendo o preço da ação bater com o mercado, o que nos permite obter deltas, gamas e thetas mais consistentes.

Outra característica do vega é que, se você traçar um gráfico com o gama e o vega de diferentes opções, e colocá-los na mesma escala, eles serão exatamente iguais. Ou seja, se você visualiza o comportamento do gama, já está vendo o vega.

O vega para o exemplo do post anterior é igual a 0.0394.

RHO: mudança de preço da opção quando a taxa de juros muda 1%. Ainda menos útil pois as taxas de juros não mudam muito, nem muito rápido, e o curto prazo das opções no Brasil deprime muito o efeito dos juros no seu preço. O rho do post anterior é igual a 0.0165.

SPEED: a variação de GAMA em relação ao preço da ação. É a terceira derivada da opção em relação à ação. Ainda não encontrei uso prático para ele, mas se alguém inventou, achou que servia para alguma coisa...

DELTA DECAY ou CHARM: essa é engraçada... representa a mudança do delta pela passagem do tempo. Essa parece mais útil; se alguma operação sua baseia-se no comportamento do delta, é bom saber o que acontecerá com ele conforme aproxima-se o exercício. Mas confesso que também não enxerguei oportunidade de usá-lo, ainda.

No seguinte artigo você encontra um monte de gregas e suas respectivas fórmulas: http://en.wikipedia.org/wiki/Greeks_%28finance%29.

O livro do Bastter fala muito de "operações delta positivo", "comprar gama", "vender gama" e por aí vai, que tem a ver com as gregas acima descritas.

Uma operação delta-neutra, por exemplo, é aquela onde a soma de todos os deltas de todos os ativos é igual a zero. Isso quer dizer que o valor do pacote não muda mesmo que o preço da ação subjacente mude. Quem não quer ter surpresas com um "gap" (mudança brusca) nos preços, procura delta neutro.

Normalmente isso exige que se faça ajustes periódicos, comprando ou vendendo ativos, pois o delta é neutro hoje mas cada ativo terá um gama diferente, e na medida que o mercado anda, cada delta oscila de forma diferente, quebrando a neutralidade. Tentar criar um investimento com gama e delta ambos neutros provavelmente vai resultar em investimento que não dá lucro algum.

A fórmula de Black-Scholes para precificação de opções

Depois de inúmeros posts sobre fundamentos de cálculo de juros e probabilidades, está na hora de finalmente vermos como se calcula o valor de uma opção. Sem mais delongas, a fórmula de Black-Scholes para opções de compra:

C = N(d1).S - exp(-R.T).N(d2).K

d1 = (ln(S/K) + (R+V*V/2)*T) / (V.sqrt(T))
d2 = d1 - V.sqrt(T)

onde C é o valor da opção de compra, S é o valor atual da ação (spot), K é o valor-alvo da opção (strike), R é a taxa de juros, V é a volatilidade, T é o tempo que falta até a expiração. Lembrando que R, T e V devem estar na mesma escala (normalmente, anual).

As variáveis d1 e d2 são cálculos intermediarios, mostrados separadamente para deixar a fórmula mais legível, e porque é a praxe. N() é a distribuição normal cumulativa (que geralmente é igual à probabilidade do parâmetro), exp() é a função exponencial (número "e" elevado a uma potência), e ln() é o logaritmo natural. sqrt() é a raiz quadrada.

Nesta fórmula aparecem todos os elementos de que falamos nos posts passados:

* a taxa de juros-base da economia, expressa pela uma potência de "e" por ser capitalização contínua.

* a correção da taxa média de retorno pela expressão (volatilidade*volatilidade/2), pois a volatilidade deprime o retorno médio;

* a conversão de uma volatilidade anual para outra grandeza de tempo, multiplicando-se pela raiz quadrada do tempo.

* o uso de distribuição normal acumulada para calcular as probabilidades da opção expirar com valor.

Nota-se que opções exigem uma matemática mais "nervosa" que outras modalidades de investimento. A dedução dessas equações é ainda mais nervosa pois envolve equações diferenciais parciais. Felizmente não precisamos lidar com isso. Na verdade, nem precisamos fazer os cálculos acima. Há inúmeras páginas na Internet com calculadora B&S, como esta: http://www.blobek.com/black-scholes.html.

Para matar a cobra e mostrar o pau, vamos calcular uma opção de acordo com o fechamento de hoje. Vale do Rio Doce (VALE5) fechou com a cotação de 52.06 (na verdade fechou a 51,90 no aftermarket, mas vamos considerar o fechamento oficial, pois opções não têm aftermarket).

A volatilidade anual da Vale, calculada de acordo com o último mês, é de 46,92%. A taxa de juros atual é 11,75% ao ano. A opção VALEL50, com strike de 49,66, expira dia 17/12.

Jogando tudo isso na calculadora, o resultado é 3,64. Isso quer dizer que o valor "justo" da opção é 3,64, considerando as seguintes hipóteses:

* que as ações vão crescer, em média, não mais que a taxa de juros livre de risco;

* que nem comprador pague ágio, nem vendedor venda no prejuízo;

* que os retornos da ação são aleatórios e seguem uma distribuição normal.

No entanto, VALEL50 fechou hoje cotada à 3,97. O que isso quer dizer?

Pode querer dizer que qualquer dos fatores citados acima (sem ágio, rendimentos aleatórios e tendentes à taxa de juros) podem não ser verdade.

Mas como não existe forma melhor do que B&S para avaliar opções, os negociadores de opções preferem falar em VOLATILIDADE IMPLÍCITA. Ou seja, a volatilidade que faz a conta fechar com o preço praticado pelo mercado.

Fazendo algumas tentativas na calculadora Web, vejo que uma volatilidade em torno de 51,70% dá o valor final da opção de 3,97. Infelizmente, não existe fórmula fechada para descobrir volatilidade a partir de um preço de mercado. Só resta a tentativa-e-erro.

A interpretação desse fato é que o mercado estima que a volatilidade futura da Vale (51,70%) é maior que a passada (46,92%). Sendo a ação mais volátil, a opção vale mais.

Naturalmente, essa "sensação" de volatilidade advém do fato de muita gente estar comprando o seu "bilhete de loteria" VALEL50 esperando que ele suba muito. Os compradores pressionam a demanda, o preço sobe.

Para finalizar, vamos fazer a memória do primeiro cálculo B&S, que usou a volatilidade passada da Vale.

d1 = (ln(S/K) + (R+V*V/2)*T) / (V.sqrt(T))

d1 = (ln(52,06/49,66) + (0.1175+0.4692*0.4692/2)*(18/365)) / (0.4692*sqrt(18/365))

d1 = 0.56067792

d2 = d1 - V.sqrt(T)

d2 = 0.56067792 - 0.4692*sqrt(18/365)

d2 = 0.45648269

C = N(d1).S - exp(-R.T).N(d2).K

C = N(0.560678762)*52,06 - exp(-0.1175*(18/365))*N(0.456483535)*49,66

Para calcular N(x), usei a função NORMSDIST() do OpenOffice Spreadsheet:

C = 0.71249173*52,06 - 0,994222235*0.67597854*49,66

C = 37,09 - 33,38

C = 3,71

O valor é próximo ao da calculadora Web (3,64). Tirando a prova dos nove com a minha calculadora feita em Python, verifico que o valor dá 3,65 (bate com Web), mas vai a 3,72 (bate com cálculo manual) se adicionarmos um dia a mais de prazo.

Isto aconteceu porque já tinha passado da meia-noite e no Python eu coloco a data de expiração, não o número de dias. Assim ele estava considerando 17 dias e não 18. Adicionando um dia, fica 18 e bate com o cálculo manual.

Provavelmente a calculadora Web também desconta um dia, daí ter fechado com a calculadora Python depois da meia-noite... Também verifiquei seu código e vi que há alguns arredondamentos no meio do cálculo, o que considero um erro.

No próximo post, falaremos das "gregas": delta, gama e theta, sem apresentar fórmulas porque são gigantescas (em particular a do theta). A calculadora Web sugerida já calcula as gregas, portanto você já pode brincar com elas e tentar descobrir o que significam.

Estimando o valor futuro de uma ação

No post anterior falamos sobre distribuição normal de rendimentos e preços. Vamos agora tentar usar isso na prática. Sempre tendo em vista que nosso objetivo final é calcular o valor de opções.

Temos uma ação que vale hoje $100. A sua volatilidade (ou seja, desvio-padrão dos rendimentos) é 50% ao ano. Qual é o seu valor provável para daqui um ano?

Note que eu não mencionei a média dos rendimentos. Por que? Porque eis uma coisa que eu não ousaria tentar prever. Nós falamos muito sobre média dos rendimentos no post anterior, mas na prática o significado deste valor é quase nulo.

Geralmente a volatilidade da ação é calculada em relação aos últimos 21 dias úteis (o que dá um mês). A média dos rendimentos teria de ser calculada sobre o mesmo período. Não há a menor chance desse rendimento repetir-se exatamente nos meses seguintes, em se tratando de mercado de ações.

Mas, sem a média de rendimentos, como vamos estimar o comportamento futuro do preço de um ativo? Temos algumas respostas possíveis, todas melhores que tentar usar o rendimento médio da própria ação.

a) Estimar rendimento médio igual a zero. Ou seja, 50% das vezes a ação vai dar lucro, e 50% das vezes vai dar prejuízo. Não interessa se considerarmos o rendimento diário, mensal ou anual.

Conforme vimos no post anterior, uma perda de 1% "pesa mais" que um ganho de 1%. Sobra um pequeno resíduo de prejuízo. Uma perda de 50% seguida de um ganho de 50% deixa um *grande* resíduo de prejuízo. Precisamos estimar a média de longo prazo levando isto em conta. A fórmula é:

Média corrigida = Média - (volatilidade*volatilidade)/2

No nosso caso, isso dá 0 - (0.5*0.5)/2 = 0 - 0.25/2 = -0.125, ou -12.5% ao ano. Uma ação com média de rendimentos zero acaba na verdade dando prejuízo de 12.5% ao ano, se a volatilidade for de 50%. Quanto maior a volatilidade, maior o prejuízo efetivo. Isso no fundo equivale a dizer que volatilidade é sempre ruim, o que não é verdade.

b) Estimar rendimento médio CORRIGIDO igual a zero. Isto significaria dizer que o rendimento diário da ação é maior conforme cresça for a volatilidade, mas ambos cancelam-se mutuamente no longo prazo. Parece mais interessante.

Neste caso o valor médio da ação para daqui 1 ano é exatamente R$ 100, com 50% de chance de ficar acima e 50% abaixo. Sendo a volatilidade de 50%, e considerando uma distribuição normal, há 66% de chance do valor da ação ficar entre $50 e $150 (33% de chance entre $100 e $150).

Adicionalmente, há 14% de chance de o valor ficar entre $150 e $225 (rendimento 50% aplicado 2 vezes), e outros 14% de chance de ficar entre $25 e $50. No total, a chance do preço ficar entre $25 e $225 é 94%, ou seja, dificilmente vai escapar dessa faixa.

Já são estimativas bastante informativas. Mas esquecem de levar uma coisa em conta: os aplicadores podem fugir para a renda fixa. Afinal, se o rendimento médio esperado de uma ação fosse 0%, quem investiria nela? Ninguém. Todo mundo fugiria para a poupança, que rende pouco, mas acima de zero.

E o que aconteceria? A ação ficaria mais barata, cairia digamos para $80. Mas a empresa por trás da ação não mudou. O valor "real" dela ainda é $100, e o valor real previsto para daqui um ano continua sendo $100.

Se a ação caiu a $80, passa a ser vantajoso comprar a ação, pois no futuro alguém vai reconhecer que ela vale $100, e eu embolso $20 de lucro em um ano (25% ao ano de rendimento!) Mais pessoas vão comprar a ação por conta disso, seu valor vai subir...

Moral da história: é preciso no mínimo usar a taxa de juros da renda fixa como base. Se o mercado é mesmo eficiente, o preço atual da ação já reflete no mínimo uma valorização nessa taxa. Se a poupança paga 6% ao ano, um mercado eficiente estaria pagando em torno de $94,33 pela ação, assumindo que se espera ela valha $100 daqui a um ano.

c) Estimar o rendimento médio corrigido como igual à taxa-base de juros da economia.

Se a ação está valendo $100 hoje, podemos esperar que ela tenha um valor médio de $106 daqui um ano, com 66% de chance de estar entre $53 e $159... e por aí vai. Esta opção é parcialmente consoante com o modelo CAPM.

Indo um pouco mais além no raciocínio, podemos estimar que ninguém vai tirar dinheiro da poupança e investir em ações se, no muito longo prazo, ambos rendem o mesmo, sendo um seguro e o outro de risco.

Isso faz pensar que, num mercado eficiente, o valor da ação seja um pouco depreciado, de modo ao rendimento final ser maior que o da poupança. E quão maior seria esse rendimento? Aí chegamos no ponto que o modelo CAPM pode ajudar.

Conforme falamos no post sobre CAPM, o modelo prevê que a taxa mínima de juros é a renda fixa. A taxa extra é proporcional à volatilidade não-diversificável -- no modelo CAPM, risco é medido unicamente pela volatilidade.

O CAPM tem um problema: ele fala em "rendimento médio do mercado", que seria o beta = 1. Aí começa de novo o problema: o rendimento médio do mercado é uma medida que se baseia no passado; não prevê o futuro. Temos de apelar para algum xamanismo para estimar qual seria o prêmio justo pelo risco.

Algumas pesquisas demonstraram que, considerando o muito longo prazo, o rendimento médio dos mercados de ações dão 6% ao ano *a mais* do que a renda fixa do mesmo país. É uma constatação empírica, porém observada em todos os países e épocas. Isto nos aponta para a opção

d) Estimar o rendimento médio corrigido como a taxa-base da economia acrescida um prêmio arbitrário, empiricamente estimado em 6% ao ano.

Neste caso, assumindo novamente que o mercado é eficiente e o preço atual da ação é justo em $100, podemos esperar um valor médio de $112 daqui um ano, com 66% de confiança que ficará entre $56 e $168.

Na verdade temos um paradoxo aqui. Se o mercado é eficiente, este prêmio de risco de 6% não deveria existir, pois num mercado eficiente, com riscos perfeitamente mensurados, os investidores iriam emprestar grandes somas de dinheiro e aplicar no mercado, anulando essa possibilidade de ganho extra.

A existência do prêmio de risco é vista por muitos como prova que os mercados não são eficientes. Por outro lado, como esse prêmio existe em toda parte, também há quem afirme o contrário. Aí entramos em discussões filosófico-religiosas sem fim.

Concluindo, quando se pretende estimar o rendimento médio futuro de uma ação, temos muitas opções, mas a escolha mais "correta" recai sobre a taxa-base de juros da economia, ou seja, o que paga a renda fixa (opção C). Como segunda opção, poderíamos adicionar um prêmio de risco à essa taxa, empiricamente estimada em +6% ao ano (opção D).

Um bêbado na Bolsa de valores

Ao falarmos sobre o CAPM, mencionamos a variação no retorno de um investimento. Essa variação, também chamada de volatilidade, desempenha um papel crucial em finanças, por exemplo na precificação de opções.

Intuitivamente, qualquer um sabe o que é um investimento de alta volatilidade. É só pensar numa barraquinha de praia, que é extremamente sazonal e além disso tem faturamento muito maior nos fins-de-semana que nos dias úteis. Mas precisamos definir isto em termos matemáticos.

Em primeiro lugar, a volatilidade refere-se ao retorno, ou seja, aos dividendos e lucros pagos pelo investimento. Ele *não* se refere ao valor de compra/venda do investimento como um todo. Por isso, nem o CAPM nem a volatilidade prevêem a situação onde o capital vira pó, como no caso do empréstimo ao cunhado :)

Em segundo lugar, presume-se que os retornos vão se espalhar segundo uma distribuição normal. Quem já leu ou teve aula de estatística conhece a "curva em forma de sino". Presumimos que a maioria dos retornos vai ficar perto da média, e retornos extraordinários (positivos ou negativos) são raros. Quanto mais longe da média, mais raros.



Inúmeros acontecimentos da natureza seguem uma distribuição normal, ou seja, se espalham em torno de uma média tal qual a curva acima. Tamanho de espiga de milho, altura das pessoas, grãos por espiga etc. etc. Uma variante importante é a distribuição log-normal, ou seja, o *logaritmo* da grandeza segue uma distribuição normal. A grandeza em si tende a se espalhar em direção aos valores mais altos:



Naturalmente há coisas que realmente não seguem distribuição normal ou log-normal. E existem outras distribuições-modelo: Poisson, exponencial, etc. Por exemplo, o número de atendimentos num call-center é geralmente modelado como distribuição exponencial, por ser muito variável. Mas retornos de um investimento são amplamente aceitos como uma distribuição normal.

Existe alguma garantia na prática que os retornos de um investimento vão realmente se comportar assim, tendendo a uma média? Não! Mas pelo menos eles vão seguir exatamente uma distribuição normal? Também não! Ao menos a volatilidade (que define a "largura" da distribuição) vai ser constante? Adivinhe... não!

Retornos são sempre imprevisíveis. Usar uma distribuição normal para modelar retornos futuros é o melhor que podemos fazer, e precisamos muito de um modelo para realizar cálculos matemáticos como o CAPM.

Na verdade, a distribuição normal é um modelo muito bom, pois admite por si só que o futuro é aleatório, dentro de certos parâmetros. Ela concorda com a teoria do "random walk", ou seja, que os investimentos são completamente imprevisíveis, como um bêbado andando na rua, ou o movimento browniano de partículas.

De acordo com essa teoria do "random walk", é bobagem ficar escolhendo em que ações investir. Compre qualquer coisa; se você tiver sorte, vai ganhar mais dinheiro que a média do mercado. Se for azarado, perderá dinheiro, por mais bem que escolha as ações...

Para descrever uma distribuição normal, precisamos calcular apenas dois parâmetros: média e desvio padrão, também chamado de volatilidade no contexto de finanças. Suponha a seguinte amostra:

Maio: retorno de 10%

Junho: retorno de -3%

Julho: retorno de 25%

Agosto: retorno de 15%

A média do retorno desse investimento é 11.75% ao mês. O desvio-padrão, ou seja, a volatilidade é 10% por mês.

(Se não souber calcular desvio-padrão, procure no Google ou em algum livro. Mas é essencialmente a média dos desvios de cada retorno em relação a 11.75%.)

Se considerarmos uma distribuição normal, onde 66% da probabilidade fica no máximo a um desvio-padrão de distância da média, podemos estimar que o investimento acima tem 66% de chance de retornar entre 1.75% e 21.75% em Setembro.

Bom, agora nós sabemos a média e o desvio-padrão para um mês. Mas podemos converter isso para valores diários ou anuais?

No caso da média, é a princípio muito fácil. Para calcular a média anual, basta multiplicar 11.75% por 12, o que dá retorno médio de 141% ao ano.

No caso da volatilidade, não é assim tão simples. Podemos imaginar que meses bons e ruins vão compensar-se parcialmente, deixando a volatilidade anual bem menor que 12 vezes 10. Na verdade, o modelo diz que devemos multiplicar pela RAIZ QUADRADA do tempo.

A raiz quadrada de 12 é 3.464. Logo, a volatilidade anualizada do investimento é de 34,64%.

Infelizmente, o nosso cálculo da média também foi infantil. Pelo seguinte motivo: um prejuízo de 10% seguido de um lucro de 10% não dá zero (assim como 0.9*1.1 é igual 0.99, e não igual a 1). Sobra um prejuízo residual de 1%.

Esse prejuízo residual é "culpa" da volatilidade, portanto precisamos ajustar a média para baixo com base na volatilidade. A fórmula é:

Média anual = ( média mensal - (volatilidade * volatilidade / 2) ) * 12

No nosso exemplo, isso dá (11.75%-10%*10%/2)*12 = (11.75%-1%/2)*12 = (11.75%-0.5%)*12 = 11.25%*12 = 135%. Um pouco menor que os 141% que calculamos anteriormente.

Ufa! Finalmente, precisamos deixar claro que até agora estávamos falando de RETORNOS, ou seja, de lucros. Se os retornos variam segundo uma distribuição normal, o que vai acontecer com o CAPITAL, ou seja, o preço da ação, que é o que nos importa?

Bem, o preço final da ação é resultado de uma multiplicação em cadeia: preço inicial vezes o retorno 1, vezes o retorno 2, vezes o retorno 3... No caso do nosso exemplo, o preço da ação teria flutuado da seguinte forma, se tivesse começado em 100:

Ação vale 100 início de maio

Maio: 100 + 10% = 110

Junho: 110 - 3% = 106.70

Julho: 106.70 + 25% = 133.38

Agosto: 133.38 + 15% = 153.39

Isso dá uma valorização média mensal de 11.29%, menor que a média de 11.75% dos rendimentos, porque como dissemos a volatilidade prejudica o rendimento. Note que o processo de composição do preço em função dos rendimentos é uma conta exponencial.

Dando outro exemplo: Se uma ação tem valor 100, e dois lucros de 50%, sobe a 225. Se tiver dois prejuízos de 50%, cai a 25. Ou seja, em termos absolutos, o preço da ação tem muito mais potencial de subir do que de descer.

Dando ainda outro exemplo: uma ação que vale 100 pode virar pó, ou seja, cair a valor zero. Mas também pode subir até valer 1500. Fica ainda mais óbvio que o preço da ação, quando sobe, pode oscilar para muito mais longe do que quano desce. "Do chão não passa" -- e os bêbados agradecem.

Se fuçarmos um pouco em estatística, descobriremos que a distribuição dos preços é log-normal. Essa distribuição atende às características descritas acima, e é matematicamente compatível com a distribuição normal dos rendimentos.

Modelo CAPM para risco e retorno, e a cavalgada das valquírias

Existe um mantra do mundo dos investimentos, que diz que "o retorno é proporcional ao risco". Muita gente apega-se a isso de corpo e alma, e espera que Deus ou a fada-madrinha os recompense pessoalmente por correrem riscos. Se fosse tão fácil, risco não chamaria risco :)

Boa parte dessa crença é devida a uma teoria denominada Capital Asset Pricing Model (CAPM). Ou talvez devido à má compreensão do CAPM -- que tenta modelar matematicamente o risco e o retorno de qualquer investimento. Uma introdução menos bem-humorada pode ser encontrada em http://www.12manage.com/methods_capm_pt.html.

Em primeiro lugar, o que é risco? O CAPM define risco como a variância do retorno. Um investimento que às vezes paga muito, e às vezes dá prejuízo, tem alta variância de retorno, e portanto é considerado mais arriscado.

Um investimento em títulos do governo tem variância zero, pois é 100% garantido -- no modelo CAPM -- e nunca varia, enquanto a taxa de juros-base estiver em vigor.

O CAPM não contempla situações como perder 100% do seu dinheiro num investimento (digamos, emprestando dinheiro para seu cunhado). Fica óbvio que o CAPM não modela todos os tipos de risco. Na verdade, o CAPM especifica que apenas o RISCO NÃO DIVERSIFICÁVEL é remunerado.

No modelo CAPM, o risco não-diversificável é aquele que afeta ao mercado como um todo. Quando o mercado como um todo sobe ou cai, cada ação reage de uma forma diferente. Algumas acompanham violentamente, outras acompanham pouco, outras até reagem "ao contrário". Um exemplo de investimento que classicamente reage ao contrário é o ouro.

Ou seja, ele não serve para modelar o retorno de um investimento como empréstimo ao cunhado. Neste caso, você está correndo um risco adicional que pelo modelo CAPM não traz mais retorno.

Por outro lado, se você possui um banco e empresta para milhões de pessoas (ou possui ações de um banco), o risco pessoal é diluído. Resta apenas o risco não diversificável, como por exemplo o de uma recessão econômica que faça todo mundo lhe dar o calote.

O risco não-diversificável da ação é medido pela CO-VARIÂNCIA da ação com o resto do mercado. Ou seja, a medida estatística de quanto a ação "acompanha" o mercado.

Uma ação pode ter grande volatilidade e ainda assim ter baixa co-variância com o mercado. Ou seja, ela tem um risco inerente alto, mas um risco não-diversificável baixo. Esta ação nunca deveria ser comprada sozinha, sempre deveria fazer parte de uma carteira variada para diluir o risco.

Uma ação com co-variância de 0.4 absorve apenas 40% das oscilações do mercado. No mdelo CAPM seria considerada uma ação extremamente segura, provavelmente uma grande pagadora de dividendos. Já uma ação com co-variância de, digamos, 1.8 é muito arriscada, pois "amplifica" as variações de mercado, e oscila quase duas vezes mais.

Por outro lado, um papel com co-variãncia -0.5 vai na direção contrária do mercado. Isto é muito raro; talvez aconteça com minas de ouro, ou investimentos lastreados em outro, refúgios típicos de épocas turbulentas.

Outro conceito do CAPM é o "beta". É uma medida de risco entre um investimento em particular, comparado à "família" que ele pertence. O beta corresponde à co-variância.

Digamos que a ação do Banco do Brasil tenha co-variância de 0,757 com o mercado. (Quase todo site de informações financeiras fornece o beta já calculado.) Agora, a relação entre risco e retorno. O CAPM prescreve que

retorno = taxa de juros-base + ( beta * rendimento extra do mercado )

Se o rendimento médio do BOVESPA é 20% ao ano, e a taxa de juros-base da economia é 11% ao ano, o modelo CAPM nos diz que o rendimento médio da ação Banco do Brasil será de 11% + 0,757 * 9% = 17.81% ao ano. Segundo o modelo CAPM, o Banco do Brasil deveria render menos que a média da BOVESPA porque ele também é menos arriscado que o BOVESPA.

O CAPM tem a vantagem de ser extremamente simples de entender e calcular. Praticamente todo sítio Web sobre ações lista os betas de cada ação, em relação ao seu mercado (BOVESPA, NYSE, NASDAQ etc.).

Agora, será mesmo que os rendimentos reais da BOVESPA e do Banco do Brasil vão mesmo seguir essas previsões teóricas? A princípio a resposta é um sonoro "não". O CAPM não pode prever o futuro. É por causa disso que muita gente corre riscos desnecessários e acaba se ferrando. O CAPM nào é a valquíria que leva o investidor ousado para o Valhala.

Também há a situação diametralmente oposta: muita gente simplesmente presume que investimento arriscado é automaticamente ruim.

O CAPM simplesmente se propõe fazer uma triagem inicial de investimentos bons ou ruins. Investimentos arriscados que pagam muito são tão bons como investimentos seguros que pagam pouco. Esta é a mensagem do CAPM. E um investimento *ainda* melhor é o que combina aplicações de risco alto e baixo, já que o CAPM depende da diversificação para ser confiável.

Teoricamente, as forças de mercado se encarregam de eliminar os investimentos que negam o CAPM. Os que se dispõem a emprestar dinheiro para o cunhado acabam rapidamente falidos, afugentando outras potenciais vítimas. Os investimentos de alto retorno e baixo risco são rapidamente descobertos, tornam-se escassos e caros, baixando assim seu retorno real ao patamar esperado pelo CAPM. Mas mercados podem ter, e costumam ter distorções.

Em resumo:

* o CAPM é uma forma de estabelecer relação matemática entre risco e retorno, que serve para avaliar se um investimento é bom ou ruim, e em tese as forças de mercado "empurram" os investimentos para os níveis previstos pelo CAPM.

* O risco mensurado pelo CAPM é modelado unicamente pela co-variância dos retornos, ou seja, riscos como perda de todo o capital não são previstos no modelo, embora existam na prática.

* O CAPM modela riscos não-diversificáveis (também chamados de sistêmicos, ou seja, que afetam tudo e todos). Correr riscos que poderiam ser mitigados pela diversificação é o caminho mais curto para decepcionar-se com o CAPM.

* O CAPM não pode prever o futuro e os mercados não são perfeitos, de modo que haverá muitos investimentos arriscados que não dão o retono previsto, e talvez alguns investimentos seguros que dão mais retorno que o previsto.

* A crença generalizada que o retorno é sempre proporcional ao risco, é derivado da simplicidade e popularidade do CAPM aliado a um entendimento incompleto do mesmo.

Juros compostos e capitalização contínua

Acho que todo mundo já sabe o que são juros compostos. Longos anos de juros reais altos e a tendência de nós brasileiros de contraírmos dívidas se encarregaram de ensinar como os juros compostos funcionam, da forma mais difícil.

No juro simples, o dinheiro é "carimbado" com duas cores diferentes: principal e juros. Se por exemplo você tomar emprestado 100 reais, e o juro é 50% ao ano, simples, você passa a dever 150 no fim do ano. Se você não pagar nem os 50 de juros, a dívida vai subindo para 150, 200, 250, 300... conforme passam os anos. O principal permanece sempre o mesmo, mas sua dívida em juros obviamente vai acumulando.

Já o juro composto trata ambos os dinheiros, principal e juros, como uma coisa só. Uma vez que sua dívida de 100 virou 150, por conta do juro, o principal passa a ser 150, e e os 50% de juros passam a correr sobre todo ele. No segundo ano, sua dívida subirá para 225 ao invés de 200.

Muitos consideram isto injusto. Mas na verdade os juros simples é que são injustos, pois criam uma vantagem para o mau devedor, pois ele pode auferir lucro atrasando o pagamento e aplicando seu dinheiro noutro investimento. Como diz um corolário: "A dívida de juro mais baixo é a que o devedor mais vai demorar para pagar".

A principal queixa dos devedores de juros compostos, é que o juro composto é um processo exponencial. A taxa de juros é elevada ao tempo (potenciação) ao invés de simplesmente multiplicada pelo tempo. É aí que uma dívida de 10 mil reais, submetida a juros de cheque especial, pode chegar a 3 milhões em poucos anos.

O juro composto tem uma pegadinha, que é rotineiramente usada para enganar as pessoas. É a "taxa nominal". Por exemplo, uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente. Isso dá 1% ao mês. No entanto, se acumularmos 1% doze vezes (1.01**12), chegamos numa taxa efetiva de 12,68% ao ano.

Ou seja, aumentar o número de capitalizações de uma taxa aumenta seu valor efetivo. No caso dos 12% versus 12.68%, a diferença parece irrelevante. No entanto, se considerarmos uma taxa de 10% ao mês, que alguns comerciantes inescrupulosos anunciam como "120% ao ano", a taxa efetiva chega a 313% ao ano! Três vezes mais que a taxa nominal.

Mas existe uma situação em que essa diferença entre taxa nominal e taxa efetiva acontece por razões legítimas, fora do controle de quem recebe o juro.

Por exemplo, suponha que eu tenha um banco, e empreste dinheiro a 1% ao mês, capitalizado mensalmente. Portanto esta é a taxa efetiva do ponto de vista do devedor, não há enganação alguma.

Mas eu não tenho apenas um cliente, eu tenho inúmeros clientes, e a dívida de cada um conta juros num dia diferente. Ou seja, meu capital é remunerado diariamente, não mensalmente. A cada dia, eu recebo 1% sobre 1/30 do meu capital. Obviamente, eu pego o dinheiro recebido e empresto novamente.

Do meu ponto de vista, 1% ao mês é a taxa nominal, mas como ela é capitalizada 30 vezes por mês, a taxa real acaba sendo um pouco maior, 1.0047%. Parece pouco excitante, mas no fim do ano dá 12.74% ao ano ao invés de 12% ou 12.68%. Quanto maior o horizonte de tempo considerado, mais essa diferença parecerá lucrativa.

Outra forma de entender o ganho adicional pela capitalização freqüente, é o seguinte: se você empresta a apenas uma pessoa hoje, só recebe o juro daqui a um mês. Por outro lado, se você compra um banco funcionando, os juros começam a pingar já a partir de amanhã.

Essa pequena vantagem que você terá em receber juros antecipadamente, corresponde exatamente à diferença entre juro real (auferido no banco) e nominal (auferido num empréstimo único). Ainda que, do ponto de vista dos devedores do banco, pagar juro ao banco e a você custe exatamente o mesmo...

Nessa altura do campeonato, alguém vai pensar: "descobri uma fonte de dinheiro, basta eu capitalizar em períodos cada vez menores!". Calma lá. Aumentar o número de capitalizações realmente aumenta a taxa efetiva, mas esse aumento tende a um LIMITE, não vai até o infinito não.

Por exemplo, se capitalizássemos 1% ao mês de hora em hora, nossa taxa seria de 1.005% ao invés de 1.0047%. Se capitalizássemos de segundo em segundo, a taxa aumenta para 1.00501%.Podemos escolher períodos cada vez menores que a taxa não vai passar disso em quase nada.

Mas qual é o valor máximo que esta taxa real pode assumir? Simples: o número "e" (2.7182818...) elevado à taxa de juros. No caso, e**0.01 resulta em 1.0050167%. Esta é a taxa efetiva quando se capitaliza uma taxa nominal de 1% ao mês em períodos infinitamente curtos. A literatura chama isso de "capitalização contínua".

Diversos matemáticos ao longo da História descobriram o número "e" desta forma: tentando achar o limite da fórmula (1/x)**x quando "x" tende ao infinito. A mais antiga tentativa registrada foi a dos babilônios, que estavam justamente tentando lidar com o problema da taxa nominal X taxa real de juros.

No mundo dos investimentos, especialmente ações e opções, é mais comum as fórmulas de juros usarem capitalização contínua (número "e" elevado ao juro) do que capitalização discreta (juro elevado ao tempo). Por quê?

Por dois motivos básicos:

1) O motivo oficial é que a capitalização contínua representa melhor uma carteira de ações. Pois cada empresa da carteira paga dividendos, juros, etc num dia diferente. Dada uma carteira suficientemente diversificada, entraria dividendo e juro todo dia. E assim a taxa nominal de dividendos acaba sendo "engordada" pelo efeito da capitalização freqüente.

2) O motivo real é que a função exponencial (potências do número "e") é muito fácil de lidar, matematicamente falando. Principalmente quando os cálculos envolvem derivadas, integrais e equações diferenciais, tudo fica mais fácil com o "e" na jogada. É precisamente o caso da precificação de opções.

Engraçado que nenhum livro de matemática financeira que eu tenha lido explicou a capitalização contínua nos termos acima. Alguns até citam-na, mas meramente como curiosidade matemática, e para provar que não é possível atingir uma taxa infinita de juros meramente diminuindo o período de capitalização. As informações acima foram obtidas no livro "Black-Scholes and Beyond". (Por isso que eu gosto de estudar sobre opções; mesmo não investindo nelas, aprende-se muito sobre os demais investimentos!)

Matemática financeira 101!

Para ser honesto, eu pensei em escrever sobre precificação de opções. Mas ao mesmo tempo sinto que a maioria dos interessados no assunto têm lacunas no seu conhecimento de matemática financeira básica. Precificar opções envolve ter ao menos uma idéia do que sejam equações diferenciais, então é melhor começar comendo pelas bordas.

Espero que consigamos construir aqui uma base de conhecimento suficiente, de conceitos mais simples até finalmente às opções.

Paridade entre opções de compra e venda

Um aspecto fundamental do cálculo do "preço justo" de opções é a paridade entre o preço de opções de compra e opções de venda. Isto significa que: se uma opção de compra qualquer vale X no mercado, podemos calcular com precisão o valor Y da opção de venda para aquele mesmo "strike" (valor segurado) e data de exercício.

Se houver discrepância, ou seja, o valor da opção de venda for diferente do calculado, descobrimos uma possível oportunidade de fazer dinheiro fácil -- a chamada "arbitragem".

Primeiro, vamos estudar o preço de um contrato de futuro. É aquele onde ambos os lados têm um compromisso -- um de comprar, outro de vender determinado produto a preço fixo. Contratos de futuros geralmente envolvem commodities -- produtos que por sua uniformidade podem ser negociados em Bolsa.

Suponha que uma fábrica de chocolates tenha medo de uma disparada futura no preço do açúcar, que hoje vale $30 a saca. Ela faz um contrato de futuro onde se compromete, digamos, a comprar açúcar a $35 daqui a meio ano. Assim, ela está protegida de altas inesperadas no preço do açúcar.

Por outro lado, se o açúcar ficar duas vezes mais barato, ela não terá proveito algum. Normalmente isso não é um problema, pois o preço do ovo de Páscoa também não vai cair. Entra açúcar a preço conhecido, sai chocolate a preço conhecido, e a fábrica embolsa o lucro esperado.

Na outra ponta do contrato, temos o produtor, que tem medo de uma queda no preço do açúcar. Para ele, vender a $30 ou $35 é um bom negócio, mas seria desastroso se o preço caísse para $15 quando fosse efetivamente vender seu produto daqui a meio ano. Ele prefere assegurar os $35 hoje, que paga seus custos e garante o lucro.

Agora, qual é o custo desse contrato para cada parte, considerando que o preço atual do açúcar é $30, e o contrato é para comprar/vender a $35?

Simples: a fábrica de chocolates deveria receber $5, pois comprometeu-se a pagar $35 por algo que vale $30. O produtor deveria pagar $5, pois no futuro receberá mais do que vale seu produto.

Naturalmente, se o contrato em questão fosse a um preço mais baixo (por exemplo $20), a fábrica é que teria de desembolsar a diferença de $10 em relação ao mercado.

O raciocínio está perfeito, exceto por um detalhezinho: TAXA DE JUROS. Considerando o contrato de $35, a fábrica recebeu $5 hoje para "devolvê-lo" daqui a meio ano. Se ela colocar esse dinheiro na renda fixa, conseguirá um lucro extra, às custas do produtor.

Vamos pegar um exemplo mais extremo para ilustrar melhor. O açúcar vale $30 e a fábrica resolve comprar um contrato de $100. Parece absurdo aceitar este preço pelo açúcar -- mas a fábrica vai receber $70 hoje por ter assumido esse compromisso. Em meio ano, esses $70 já serão $74,31 no banco, considerando juros de 1% ao mês. Basta usar os $70 originais para pagar o açúcar e embolsar o resto.

Quanto mais caro o contrato que assumirmos, mais dinheiro podemos ganhar aplicando o adiantamento no mercado financeiro. Parece que descobrimos a galinha dos ovos de ouro...

Olhando do ponto de vista do produtor, voltando ao caso do contrato de $35, ele teria de emprestar dinheiro no banco para pagar os $5. Como ele só recebe o dinheiro de volta daqui a meio ano, terá de pagar juros sobre estes $5 até lá. Não muito justo.

Em resumo, temos de considerar a taxa de juros na avaliação de um contrato de futuros. Fazemos isso descontando os juros do valor futuro.

Voltando ao contrato mais realista de $35 -- Para termos $35 daqui a 6 meses, basta depositar aproximadamente $33 no banco hoje. Desta forma, o preço do contrato de futuro será $3. A fábrica de chocolates receberá apenas $3 (e apenas $3 serão desembolsados pelo produtor).

Como sabemos, opções são diferentes de contratos de futuro. Quem adquire opções só tem direitos. Quem lança opções só tem obrigações (mas recebe dinheiro por isso). Mas podemos "sintetizar" um contrato de futuros a partir de opções, da seguinte forma:

* Adquira uma opção de compra de açúcar a $35
* Lance uma opção de venda de açúcar a $35

Esta operação, como um todo, comporta-se como um contrato de futuros. Se o açúcar valer $40 no dia do exercício, você ganha $5. Se estiver valendo $30, você perde $5 (pois tem de "engolir" o açúcar a $35, e como não quer estocá-lo em casa, revende imediatamente a $30).

Sendo assim, a operação tem de custar tanto quanto custaria um contrato de futuros. A gente já determinou que tal contrato custaria $3. Portanto, devemos esperar embolsar $3 ao realizar a operação acima.

A equação fica:

C - P = S - [K descontado ao valor presente]

onde C é o dispêndio na opção de compra; P é o prêmio recebido pela opção de venda; S é o preço atual do objeto; K é o preço contratado no futuro. Naturalmente, a taxa de juros da economia também toma parte nessa conta, pois K é descontado ao valor presente.

Aplicado ao nosso caso:

C - P = $30 - $33

C - P = -$3

O valor é negativo pois *rebebemos* dinheiro ao fazer a operação. Agora, suponha que você tenha pago $0,50 pela opção de compra. A equação fica:

$0.50 - P = -$3

Resolvendo, temos que P = $3,50. Ou seja, podemos esperar receber $3,50 por lançar a opção de venda. Se o mercado estiver pagando menos que isso, NÃO VALE A PENA lançar a opção de venda!

Por outro lado, se o mercado estiver pagando mais que $3,50 por tais opções de venda, descobrimos uma "mina de ouro". Mas como eu disse antes, não espere que isto aconteça facilmente.

Esta é a paridade de preços entre opções de compra e venda. Elas estão matematicamente relacionadas pela simples fórmula supracitada.

Vamos provar agora que é possível ganhar dinheiro fácil com a discrepância entre preços de opções (e que portanto tais discrepâncias serão rapidamente fechadas pelos especuladores). Esqueçamos o açúcar e pensemos em opções de ações.

Suponha Vale do Rio Doce (VALE5) valendo $50 hoje. A opção de compra para Janeiro a $55 (VALEA55) está cotada a $0,50. A opção de venda VALEM55 está cotada a $6,00. Desconsiderando os juros, a equação de paridade fica:

$0,50 - $6,00 = $50 - $ 55

-$5,50 < -$5 (opções mais baratas que um contrato de futuro)

Temos uma discrepância. Para tirar proveito dela, devemos a) comprar VALEA55 a $0,50; b) vender VALEM55 a $6,00; c) Vender VALE5 (sell short, pois não temos VALE5). Neste momento, temos $55,50 em caixa: $50 da venda de VALE5, mais $5,50 do saldo da venda de VALEM55.

No dia do vencimento, podem ocorrer três cenários:

VALE5 subiu para digamos $70. Então a) exercemos VALEA55 gastando $55 e ganhando VALE5 em troca; b) VALEM55 virou pó; c) fechamos o sell-short com a ação obtida em (a). Ficamos com um saldo de $0,50 de lucro.

VALE5 fechou em exatamente $55. Então a) VALEA55 vira pó; b) VALEM55 vira pó; c) compramos VALE5 no mercado a $55 para fechar o sell-short. Sobra $0,50 de lucro.

VALE5 caiu para $40. Então a) VALEA55 vira pó; b) Somos exercidos em VALEM55, ou seja, saem $55 da nossa conta, e entra uma VALE5. c) Fechamos o sell-short com a VALE5 que entrou em (b). Sobra $0,50 de lucro.

Para resumir, a arbitragem nos permitiu ter lucro sem risco algum.

Vamos supor agora que a discrepância ocorre no sentido oposto. VALEA55 a $1,00, VALEM55 a $5,00, VALE5 a $50 hoje.

1,00 - 5,00 = 50 - 55

-4 > -5 (opções mais caras que um contrato de futuro)

Para tirar proveito dessa discrepância, devemos a) vender VALEA55, recebendo $1; b) comprar VALEM55 desembolsando $5; c) comprar VALE5 a $50; d) emprestar $54 para cobrir nosso rombo.

Agora, o que acontece no vencimento:

VALE5 sobe para $70. a) Somos exercidos, entregamos a VALE5 que tínhamos comprado, e recebemos $55. b) VALEM55 vira pó. c) Levaram nossa VALE55 embora; d) Pagamos o empréstimo de $54. Sobrou $1 de lucro.

VALE5 fica exatamente em $55. a) VALEA55 vira pó; b) VALEM55 vira pó; c) vendemos a VALE5 a $55; d) pagamos o empréstimo de $54. Sobra $1.

VALE5 cai para $40. a) VALEA55 vira pó; b) Exercemos nossa opção de venda, recebendo $55 e entregando nossa VALE5; c) Ficamos sem a Vale; d) Pagamos o empréstimo de $54. Sobra $1.

Ou seja, a discrepância no sentido oposto também pode ser explorada sem maiores problemas.

Tudo isto garante que a paridade de preço entre opções de compra e venda seja válida, pois as forças especulativas do mercado forçam que ela assim seja.

Naturalmente, existem dificuldades adicionais que não prevemos no nosso raciocínio, como custos de corretagem, a taxa de juro mais alta cobrada no sell-short, e por aí vai. Tais dificuldades impedem um investidor pequeno de tirar proveito das discrepâncias. Mas um investidor suficientemente rico não será intimidado por elas.

Resenha do livro "Profitable Candlestick Trading: Pinpointing Market Opportunities to Maximize Profits"

Comprei este livro pois precisava de uma referência boa para análise técnica baseada em "candlesticks".

Não acredito muito em análise técnica, mas faço uma certa concessão aos candlesticks, por alguns motivos: 1) é simples de usar; 2) é aplicável a praticamente qualquer ativo; 3) tem 400 anos, portanto já foi largamente escrutinizada; 4) parece funcionar na prática.

Dentro de uma disciplina de comprar-e-conservar ações de boas empresas por longo prazo, ainda precisamos comprar e vender de vez em quando. Escolher o momento da transação é, segundo muitos, perda de tempo. Ou seja, a lucratividade de comprar/vender tão logo possamos/precisemos depende puramente da nossa sorte.

Já que tudo depende da sorte... não há malefício em usar análise técnica para determinar o melhor momento de cada transação. O pior que pode acontecer é não apurarmos nenhum ganho adicional. E é claro, teremos perdido nosso tempo em vão. Aí entra a vantagem decisiva dos candlesticks: simples de usar, portanto não tomam tempo.

Mesmo que os candlesticks fossem muito mais precisos do que o são na prática, ainda assim não invalidam a estratégia de constituir carteira de longo prazo. Porque muitas padronagens de candlestick precisam de "confirmação", ou seja, que as figuras de dois, três ou mais dias seguidos sejam aguardadas e analisadas em conjunto.

Sabendo que o mercado é capaz de movimentos muito bruscos ao longo de poucos dias, não são os candlesticks que vão salvar alguém de perder dinheiro em tais movimentos, principalmente se esse alguém tem estratégia de curtíssimo prazo. Carteira de longo prazo, que aproveita pechinchas para melhorar o preço médio, e que compõe em cima de dividendos, continua sendo importante.

Voltando ao livro: ele atende à expectativa de ser uma referência sobre o assunto, muito embora o autor perca muito, mas muito tempo *mesmo* enaltecendo os candlesticks. Ele cita um sem-número de vezes que "se a técnica vem do Japão e tem 400 anos, só pode ser boa". Ao invés de aumentar minha fé nos candlesticks, tal entusiasmo apenas conseguiu me deixar mais desconfiado ;) O livro poderia ser mais fino, mais barato e causar a morte de menos menos árvores se evitasse tecer tantas loas aos negociantes japoneses de arroz.

A explicação de cada padrão de candlestick é muito boa, e sempre acompanhada de um exemplo prático. A diagramação do livro é boa, e toma o cuidado de colocar candlestick-exemplo em páginas adjacentes, de modo que se abre na página e tudo que se precise ver em termos de figuras, está no mesmo quadro.

Concluindo, o livro tem o ponto forte de entregar o que eu esperava dele: ser um almanaque a respeito de candlesticks. O ponto fraco é o excessivo entusiasmo do autor pela técnica, que acaba sendo contraproducente pois desperta a desconfiança de qualquer leitor que seja minimamente crítico.

Resenha do livro "Get rich with Options"

Livro que chegou ontem da Amazon: Get rich with Options, de Lee Lowell.

O livro tem uma proposta muito parecida com a do livro do Bastter, que já resenhamos aqui. Basicamente, Lowell sugere cinco operações "vencedoras" a serem feitas com opções, das quais três coincidem com as operações recomendadas pelo Bastter, e as outras duas são pouco aplicáveis ao Brasil.

O livro é bem acabado: capa dura, texto bem formatado (o autor escreve muito mais profusamente que o Bastter), muitíssimas telas de computador mostrando cotações etc. Faltou um coisa a meu ver crucial: colocar um esquema tabulado para cada operação. Na verdade, pela proposta do livro, tais esquemas deveriam ser inclusive repetidos na contra-capa.

O livro do Bastter, com sua formatação muito mais amadora, não comete este erro primário. Talvez o Lowell pressupôs que o leitor já tenha tais esquemas na cabeça.

Outra falha básica do livro é não colocar as fórmulas de Black e Scholes. Talvez porque o autor sugira o uso de ferramentas computadorizadas e corretoras que já calculam tudo, inclusive volatilidade implícita (nessas horas dá inveja dos EUA...). Ainda assim, acho que pelo menos as fórmulas deveriam estar lá, com ao menos uma memória de cálculo.

Um último problema do livro é que muita coisa escrita nele não se aplica ao mercado brasileiro. Isto naturalmente não é culpa do autor, apenas citei isto para lembrar que, sozinho, o livro não funcionará como bíblia ou almanaque de investimentos aqui, embora talvez funcione nos EUA.

Um aspecto muito interessante, positivo, do livro é que o autor se dá ao trabalho de explicar a mecânica dos mercados de futuros, inclusive a psicologia dos operadores etc. Aliás, muitos exemplos de operações do livro envolvem commodities e não ações de empresas. Conforme o mercado brasileiro amadurece e o investidor pessoa física ganhe acesso aos mercados de commodities, o livro vai ganhando utilidades novas.

Em resumo, o livro é bom, embora o do Bastter continue sendo uma opção melhor se for para escolher apenas um. Seu ponto forte é sugerir operações realmente boas e justificar o porquê são boas (ou seja, ninguém vai se ferrar seguindo seus conselhos). O ponto mais fraco é a inexistência de um esquema tabular para cada operação sugerida.