Tive uma interessante troca de e-mails com um leitor do blog e do meu livro, que talvez trate de dúvidas que outros leitores também tenham. Segue a transcrição parcial, texto do leitor em itálico, meus textos de resposta em letra normal.
Tenho lido bastante que o que mais conta para a precificação (Black & Scholes) é a volatilidade implícita. Partindo desse princípio, fui fazer alguns cálculos tomando como base a planilha XYZ e notei que os números não batiam e fiquei intrigado. Conforme as pesquisas no Google foram avançando, comecei a perceber que alguns sites tratavam da volatilidade histórica e fui de novo ao Excel para uma segunda bateria de cálculos. Calculei a volatilidade histórica da VALE5 para os 30 dias anteriores ao fechamento do dia 22/10 e pra minha surpresa os números do preço teórico e delta bateram com a planilha XYZ. Nesse ponto surgiram várias dúvidas.
Calculei a VH dos últimos 30 dias, pois no próprio site XYZ tem uma área em que ele disponibiliza a VH e diz que é dos últimos 30 dias, mas na planilha dele ainda existe a opção de escolher a VH de 45 dias. Se a escolha da VH altera os números, qual eu deveria escolher?
Pra complicar mais um pouquinho, ainda fiquei na dúvida em relação ao input tempo aplicado na fórmula de B&S, qual utilizar? 365 dias corridos? 360 dias com meses de 30 dias? Ou ainda 252 dias úteis?
Com a continuidade dos estudos notei que aplicando a volatilidade implícita (com o auxílio da função Atingir Meta do Excel) de ontem no dia de hoje, os preços teóricos ficam muito mais próximos ao que o mercado está praticando (obviamente). Lendo o artigo que está no endereço http://www.abepro.org.br/biblioteca/ENEGEP1999_A0511.PDF também pude perceber que existe certa polêmica em relação as possíveis falhas no modelo de B&S.
Seguem meus questionamentos: Por que o site XYZ disponibiliza uma planilha com valores de preço teórico, delta, gama, theta, etc. baseado na VH de 30 dias e não na VI, já que a VI representa mais fielmente o que o mercado vem praticando? Pensei em duas possibilidades. A primeira é que, considerando longo prazo, seria mais correto basear esse tipo de operação em uma volatilidade histórica que se aproxime mais do tempo total da série (30 dias) do que em valores de curtíssimo prazo. A segunda é que atualizar e disponibilizar as VI de cada strike todos os dias daria mais trabalho (risos), mas nesse caso estou assumindo que os usuários também podem se basear na planilha dele para operações de curto prazo como travas, operações alvo, etc., o que não acredito muito. Qual sua opinião sobre essa possibilidade de se basear em VH ou VI dependendo do tipo da operação (maior prazo no caso de venda coberta (sempre vendido e não como trade) e menor prazo para operações que duram apenas alguns dias)? Faz sentido?
Qual sua opinião a respeito do tempo ao aplicar os dias para o vencimento na fórmula de B&S? 365, 360 ou 252?
No dia em que fiz os cálculos (22/10) o preço teórico de B&S na planilha XYZ era de R$1,70 para a opção VALEK28 e nesse dia ela fechou cotada a R$0,87 (~95% de diferença), anexei a planilha com os cálculos para que você possa ver.
> Calculei a VH dos últimos 30 dias, pois no próprio site XYZ tem
> uma área em que ele disponibiliza a VH e diz que é dos últimos 30
> dias, mas na planilha dele ainda existe a opção de escolher a VH de 45
> dias. Se a escolha da VH altera os números, qual eu deveria escolher?
É, aí entramos numa área onde a ciência ainda está evoluindo, e algumas crenças pessoais têm de ser adicionadas para tapar os buracos que a ciência não explica....
Eu nunca vi a planilha XYZ e confesso que fico surpreso com sua informação que a volatilidade histórica é utilizada como base praa calcular preços teóricos de opções. Eu pessoalmente acredito que o preço de mercado é o único preço válido; se o preço teórico difere do preço de mercado, alguém vai ter de me contar uma história muito, muito convincente para eu acreditar que o mercado está errado. Você vai notar isso no meu livro. Mas se XYZ faz dinheiro usando volatilidade histórica, talvez seja ponto para ele.
O "estado da arte" da avaliação de opções realmente considera B&S obsoleto. Não no sentido de inútil, mas no sentido de que ele serve apenas como o início do processo de avaliação, e é claro para achar a volatilidade implícita. É fato que os rendimentos dos mercados não seguem uma distribuição normal, mas sim uma leptocurtose (uma distribuição onde rendimentos extraordinariamente grandes e pequenos são mais comuns do que a distribuição normal prevê). O sorriso da volatilidade é uma das conseqüências deste fato.
> Pra complicar mais um pouquinho, ainda fiquei na dúvida em relação ao
> input tempo aplicado na fórmula de B&S, qual utilizar? 365 dias
> corridos? 360 dias com meses de 30 dias? Ou ainda 252 dias úteis?
É outra discussão religiosa. Você vai encontrar gente defendendo qualquer das opções com excelentes argumentos. Pessoalmente eu uso 365 dias, pois não acredito que o mercado trabalhe apenas nos dias úteis e no horário do pregão. Coisas boas e ruins acontecem o tempo todo, 24 horas, 7 dias por semana.
> Com a continuidade dos estudos notei que aplicando a volatilidade
> implícita (com o auxílio da função Atingir Meta do Excel) de ontem no
> dia de hoje, os preços teóricos ficam muito mais próximos ao que o
> mercado está praticando (obviamente). Lendo o artigo que está no
> endereço http://www.abepro.org.br/biblioteca/ENEGEP1999_A0511.PDF
> também pude perceber que existe certa polêmica em relação as possíveis
> falhas no modelo de B&S.
De fato, B&S é só o início da conversa. A sofisticação dos mercados de opções no estrangeiro (pelo oferecimento das tais opções exóticas, asiáticas e por aí vai) força todo mundo a usar árvores binomiais.
> Seguem meus questionamentos: Por que o site XYZ disponibiliza
> uma planilha com valores de preço teórico, delta, gama, theta, etc.
> baseado na VH de 30 dias e não na VI, já que a VI representa mais
> fielmente o que o mercado vem praticando? ?
Como eu disse antes, (...) pessoalmente não acredito em volatilidade histórica. Teorias e estratégias baseadas na VH estão, para mim, 20 anos atrasadas. Quando eu faço minhas operações aqui, eu sempre considero VI, e as probabilidades de perder dinheiro que a VI me diz.
Colocando a minha opinião de outra forma: opções são ferramentas (um tipo de seguro) para que o investidor possa lidar com a volatilidade. Desta forma, não há motivo para não acreditar que o preço da opção não seja a melhor estimativa possível da volatilidade futura que se possa ter. Assim como o preço do seguro de um carro é uma estimativa muito boa da sinistralidade dele.
> Qual sua opinião a respeito do tempo ao aplicar os dias para o
> vencimento na fórmula de B&S? 365, 360 ou 252?
Uso 365 dias.
> No dia em que fiz os cálculos (22/10) o preço teórico de B&S na
> planilha XYZ era de R$1,70 para a opção VALEK28 e nesse dia ela
> fechou cotada a R$0,87 (~95% de diferença), anexei a planilha com os
> cálculos para que você possa ver.
Vou dar uma olhada no início da semana que vem. Coincidentemente eu fiz um lançamento coberto destas mesmas opções quando estavam cotadas a R$ 1, a volatilidade implícita dela já estava na estratosfera... Imagino quão grande a VH esteja para dar um valor estimado de 1,70.
> Enfim, gostaria de alguma opinião sua a respeito, pois confesso que
> para uma pessoa não familiarizada com fórmulas complexas, esses
> conceitos são um pouco difíceis de serem absorvidos, sem contar que
> ainda existe a possibilidade de eu estar fazendo uma baita confusão
> (espero que não! rss).
Demora mesmo para digerir essas coisas. Eu estou estudando o assunto aos poucos mas há vários anos, e ainda me sinto no início da jornada :)
Qual o período da VI que você utiliza? A de ontem aplicada hoje?
Muitas pessoas me disseram pra parar de complicar as coisas, que na prática isso não faz diferença, mas o meu intuito é estudar e entender tim tim por tim tim e acredito que numa operação do tipo delta-hedge os valores das gregas não são tão dispensáveis assim! rss
Utilizo a VI "instantânea". Como não tenho acesso a um serviço de
ticker instantâneo, e o home broker da Ágora não calcula VI, fiz uma
página que calcula as VIs de determinadas séries de hora em hora. Se
tiver curiosidade:
http://epx.com.br/ctb/sorriso.php
Conforme escrevi no e-mail anterior, continuei as pesquisas e encontrei coisas interessantes.
No site do J.P.Morgan achei dois documentos que tratam de volatilidade, são antigos, de 2005, mas me chamaram atenção, seguem os links:
Demystifying Volatility
Demystifying Volatility, Part 2
Não sei se já conhece o site da RiskTech mas lá existem algumas planilhas em Excel com exemplos abertos de cálculos de Black & Scholes, Binomial e outras coisas mais, vale a pena conferir, tem parceria com o IBMEC. (...) E minha suspeita está confirmada, a planilha XYZ mostra o preço teórico de B&S com base na volatilidade histórica mesmo.
No documento do J. P. Morgan outra coisa que me chamou atenção foi o cálculo da volatilidade implícita, também calculada com base no tempo de vida da opção, isso reforça minha idéia de que é possível utilizar duas VIs, no início da série calcula-se com base nos dias para o vencimento e depois de lançado monitora-se com a instantânea (de ontem aplicada hoje, de hora em hora, etc.) e no caso de operações de curtíssimo prazo utiliza-se somente a instantânea. Acredito ser uma alternativa para uma maior segurança de não ser exercido no caso do vendedor coberto e somente nesse caso. Sua opinião?
>> Assim que tiver um tempo vou ver se faço um estudo do efeito sorriso no
>> mercado brasileiro, notei que não existe muita coisa a respeito na internet.
>> Será um estudo despretensioso, afinal como eu disse, não sou nem cientista
>> nem matemático, mas acredito que possa descobrir outras coisas e relações
>> comparativas interessantes também. Te aviso na oportunidade.
O sorriso da volatilidade existe porque a distribuição de rendimentos, na realidade, não é uma distribuição normal. Se adotássemos uma distribuição mais adequada, como a leptocurtose, provavelmente a volatilidade seria a mesma para todas as opções. Ou mais parecida, sem um sorriso.
O problema da leptocurtose é que ela tem 4 parâmetros: média, desvio-padrão, achatamento e inclinação, enquanto a distribução normal tem apenas 2: média e desvio-padrão. Lembrando que, em Black e Scholes, a média é dada pela taxa de juros-base, e o desvio-padrão é a volatilidade.
Calcular o achatamento e a inclinação é possível, mas exigiria calcular esses parâmetros para cada mercado e até mesmo para cada ativo, individualmente, empiricamente enquanto a taxa de juros-base é a mesma para o país inteiro. E nada garante que esses achatamento e inclinação sejam estáveis ao longo do tempo. Eles podem variar dia a dia...Imagino que grandes e sérios investidores em opções usem leptocurtose, mas honestamente não sei se o trabalho adicional "paga-se" em termos de lucros.
A propósito, o trecho mais relevante dos documentos da J. P. Morgan, que faz pensar sobre utilizar volatilidade implícita é o seguinte:
As mentioned earlier in the article, implied volatility often can be quite useful in developing a volatility assumption. However, there is often uncertainty regarding the level of confidence that can be placed in an implied volatility calculation. The SEC Staff Bulletin added some clarification to help with this issue. It suggested four things to consider when determining the level of confidence to place in an implied volatility calculation:
* If the volume of market activity in the underlying stock and traded options is high, prices for these securities are more likely to reflect a marketplace participant's expected volatility expectations.
* Implied volatility should be derived using synchronized variables. This means that whenever possible, market prices of the traded options and stock should be measured at the same point in time. This point in time should also correspond to the grant date of the employee stock options. If this is not reasonably practicable, the implied volatility should be derived as of a point in time as close to the grant date as possible.
* When valuing an at-the-money employee stock option, at- or near-the-money options should be used to derive implied volatility. If this is not possible, multiple traded options with an average exercise price close to the exercise price of the employee stock option should be used. The varying implied volatilities across strike prices exhibited by the volatility smile lend support to this recommendation.
* The remaining term of the traded option should be as close as possible to the expected or contractual term, as applicable, of the employee stock option. However, the bulletin acknowledges that this is somewhat unreasonable and that other relevant information should be considered when estimating expected volatility in relation to options with a term of less than one year. Closed-form models, such as the Black-Scholes model, use the expected term of the employee stock option rather than the contractual term.
When applicable, the examples shown earlier in this article illustrated these four recommendations.
